§8. Формулы Виета. Кратные корни.

Формулы Виета дают связь между коэффициентами многочлена и его корнями (для приведенного уравнения, т.е. такого уравнения, у которого старший коэффициент равен единице).

Рассмотрим многочлен:

f(x)=xⁿ + a₁ x^n-1 +…+a_n .

Пусть a₁,…,a_n P — коэффициенты многочлена, — его корни. Можно записать (см. § 7, следствие 1):

f(x) = (x-α₁)(x-α₂)…(x-α_n).

Чтобы получить x^n-1 из каждой скобки надо взять x, за исключением одной скобки, из которой взят а_i, чтобы получить x^n-2 надо взять x из всех скобок, за исключением двух и т.д. Получим

a₁ = ( α₁+α ₂+…+ α_n )

a₂ = α₁α₂+…+ (1)

…

a_n = (-1)ⁿα₁ …α_n

Если мы домножим каждое равенство из (1) на (-1) в степени, равной индексу а_i, то мы получим привычные нам формулы Виетта.

-a₁ = α₁+α₂+…+α_n

a₂ = α₁α₂ +…+ (2)

……………..

(-1)ⁿ a_n = α₁… α_n

Кратные корни.

_{Пусть для f(x) = (x-α)}^k _{f(x) ; f(α)≠0, т.е. — корень кратности .}

_{Теорема 1. Если α — корень кратности k для многочлена, то α — корень кратности k-1 для его производной.}

◄ Доказательство следует из теоремы о кратности неприводимых множителей (т.2, § 5). ►

Упражнение. Верно ли утверждение,обратное этой теореме?

Тема 4. Группа.Кольцо. Поле.

§1. Бинарная агебраическая операция.

Пусть Х не пустое множество, X² — скалярный квадрат множества X, т.е. X²={(a,b)| a,bX}.

Определение 1. Отображение f:X²X называется бинарной алгебраической операцией (БАО), то есть каждой паре элементов (a,b) множества X ставится в соответствие элемент сX.

Элемент c называется композицией элементов a и b, обычно записывают c=ab ( где  — обозначение кокой-то бинарной алгебраической операции ).

Примеры:

1) Вкачестве множества X возьмем N — натуральные числа, в качестве операции +:

(a,b)a+b — отображение и

c=a+b — сумма.

2) Множество матриц над полем P с операциями +, *.

Если X — конечное множество, например X={x₁, x₂,  ,x_n}, то алгебраическую операцию удобно задавать таблицей:

	x1 x2 x3 … xn
x1
x2 x3 … xn

В клетке этой таблицы, расположенной на пересечении строки, проходящей через элемент , и столбца, проходящего через элемент , следует записать композицию элементов и .

Часто алгебраическую операцию называют внутренним законом композиции.

Определение 2. Пусть заданы множество X с бинарной алгебраической операцией , и любое его непустое подмножество X₁. Если a,bX₁ ab тоже принадлежит X₁ ,то множество X₁ называют устойчивым относительно данной бинарной алгебраической операции, а саму бинарную алгебраическую операцию на X₁ называют индуцированной.

Определение 3. Пусть на множестве Х задана бинарная алгебраическая операция  (дальше для краткости просто операция ). Элемент hХ называется нейтральным относительно операции , если xh=hx=x xX.