6.2.Экономические задачи, сводящиеся к транспортной модели

В этом разделе будет рассмотрено несколько примеров экономических задач, решение которых может быть найдено с помощью транспортной модели.

Оптимальное распределение оборудования

Оборудование m различных видов нужно распределить между n рабочими участками. Производительность единицы оборудования i-го вида на j-м рабочем участке равна равна p_ij;; i = 1,…, m; j = 1,…, n. Потребность j-го участка в оборудовании составляет b_j, j = 1,…,n. Запас оборудования i-го вида равен a_i, i = 1,…, m. Найти распределение оборудования по рабочим участкам, при котором суммарная производительность максимальна.

Данная задача относится к классу ТЗ при условии, что производительность линейно зависит от количества используемого оборудования. Поставщиками в задаче являются различные виды оборудования, потребителями – рабочие участки.

Обозначим через x_ij число единиц оборудования i-го вида, выделенное на j-й рабочий участок, i = 1,…, m; j = 1,…, n. Математическая модель задачи имеет следующий вид:

P = x_ij ® max;

= a_i, i = 1,…, m;

= b_j, j = 1,…, n;

;

x_ij ³ 0, i = 1,…,m; j = 1,…, n.

Построенная модель является сбалансированной. Если запас оборудования и потребность в нем не равны, то переход к сбалансированной модели осуществляется с помощью преобразований, изложенных в пункте 6.1.

В данной задаче требуется максимизировать целевую функцию Р, представляющую суммарную производительность. Для перехода к стандартной транспортной модели надо заменить функцию Р на противоположную функцию – Р, которую нужно будет минимизировать.

При решении в матрице вместо стоимостей перевозок единицы груза будут стоять производительности, взятые с противоположным знаком. Далее задача решается методом потенциалов.

Формирование оптимального штата фирмы

Фирма набирает штат сотрудников. Она располагает n группами различных должностей по b_j вакантных единиц в каждой группе, j = 1,…, n. Кандидаты для занятия должностей проходят тестирование, по результатам которого их разделяют на m групп по а_i кандидатов в каждой группе, i = 1,…, m. Для каждого кандидата из i-ой группы требуются определенные затраты с_ij на обучение для занятия j-ой должности, i = 1,…, m; j = 1,…, n. (В частности, некоторые c_ij = 0, т.е. кандидат полностью соответствует должности, или c_ij = ¥, т.е. кандидат вообще не может занять данную должность.) Требуется распределить кандидатов на должности, затратив минимальные средства на их обучение.

Предположим, что общее число кандидатов соответствует числу вакантных должностей. (Если это не так, то следует просто проделать преобразование раздела 6.1.) Тогда данная задача соответствует транспортной модели. В роли поставщиков выступают группы кандидатов, а в роли потребителей – группы должностей. В качестве тарифов на перевозки рассматриваются затраты на переобучение.

Математическая модель записывается в виде:

x_ij ³ 0, i = 1,…, m; j = 1,…, n.

Задача календарного планирования производства

Рассмотрим задачу календарного планирования производства на N последовательных этапах. Спрос изменяется во времени, но детерминирован. Его можно удовлетворить либо путем изменения уровня запаса при постоянном объеме производства, либо за счет изменения объема производства при постоянном уровне запаса, либо путем изменения и уровня запаса, и выпуска. Изменения объема производства можно добиться, проводя сверхурочные работы, а изменения уровня запаса можно обеспечить за счет создания постоянного положительного запаса либо за счет неудовлетворенного спроса.

Нужно отыскать календарный план производства на N этапов, минимизирующий суммарные затраты. В модели предполагаются нулевые затраты на оформление заказа для любого этапа. В общем случае допускается дефицит при условии, что весь задолженный спрос должен быть удовлетворен к концу этапа N. Эти условия можно записать в виде транспортной задачи.

Введем следующие обозначения для этапа i; i = 1,2,. . ., N:

c_i – производственные затраты на единицу продукции при обычном режиме работы;

d_i – производственные затраты на единицу продукции при работе в сверхурочное время (d_i > c_i);

h_i – затраты на хранение единицы продукции, переходящей из этапа i в этап i + 1;

p_i – потери от дефицита на единицу продукции, требуемой на этапе i, но поставляемой на этапе i + 1;

a_ri– производственная мощность (в единицах продукции) при обычном режиме работы;

a_ti – производственная мощность (в единицах продукции) при работе в сверхурочное время;

b_i – спрос (в единицах продукции).