3.5. Решение злп двухэтапным симплекс-методом

Пример 3.14. Рассмотрим задачу

=0.4X₁+0.3X₂+0.1X₃+0.1X₅+0.2X₆ (3.71)

2X₂+2X₃+4X₄+X₅=150

X₁+X₂+2X₅=200 (3.72)

X₁+X₃+2X₆=300

; j=1,...,6 (3.73)

Так как ограничения (3.72) рассматриваемой ЗЛП уже имеют вид строгих равенств, то для приведения ее к каноническому виду достаточно только изменить знак функции на противоположный и рассмотреть задачу нахождения -0.4X₁-0.3X₂-0.1X₃-0.1X₅-0.2X₆ (3.74) при тех же ограничениях (3.72)-(3.73).

Рассмотрим расширенную матрицу А системы уравнений (3.72)

Так как матрица А не содержит единичной подматрицы порядка 3,

то она не является К-матрицей ЗЛП и, следовательно, к задаче (3.71)-(3.73) не может быть применен симплекс-метод.

Рассмотрим метод отыскания исходного опорного плана (К-матрицы)- метод искусcтвенного базиса.

Первый этап - решение вспомогательной задачи

Пусть в ЗЛП (3.18) расширенная матрица системы линейных уравнений (3.36) не является К-матрицей. Рассмотрим следующую вспомогательную задачу: найти вектор , максимизирующий функцию

(3.74)

при условиях

, (3.75)

, , , , . (3.76)

Переменные называются искусственными переменными вспомогательной задачи (ВЗ) (3.74-3.76). Обозначим множество планов ВЗ. Очевидно, что множество 0, так как вектор , а функция 0 ограничена сверху, следовательно, ВЗ (3.74-3.76) всегда разрешима, т.е.существует вектор такой, что = () =d.

Рассмотрим расширенную матрицу системы (3.75)

(3.77)

которая является К-матрицей ВЗ (3.74-3.76), т.е. ВЗ может быть решена симплекс-методом.

Предположим, что ВЗ решена симплекс-методом, на S-й итерации которого получен ее оптимальный опорный план

=, () = d, (3.78)

определяемый К-матрицей ВЗ.

(3.79)

Очевидно, что матрица

(3.80)

является расширенной матрицей системы линейных уравнений, равносильной системе (3.36).

Теорема 1.7. Если ( ) = d = 0 , то вектор =(,…, )

является опорным планом ЗЛП (3.18) , если ( ) = d < 0, то множество планов ЗЛП (3.18) пусто.

Из теоремы 1.7 следует, что при решении ВЗ (3.74-3.76) симплекс-методом могут представиться следующий три случая:

1. На S-й итерации симплексного метода ни одна из искусственных переменных не является базисной, (,) , т.е. матрица =(3.61) является К-матрицей ЗЛП (3.18), а план =(, …, ) -опорным планом ЗЛП (3.18), определяемым этой К-матрицей.

2. На S-й итерации симплексного метода в числе базисных оказались искусственные переменные, например,

, pm,

т.е.

= n + 1, = n + 1, …,= n + p

причем

, .

Тогда вектор является вырожденным оптимальным опорным планом вспомогательной задачи линейного программирования, а матрица (3.61) содержит p < m единичных столбцов и не является К-матрицей основной задачи.

Однако в этом случае матрицу можно преобразовать в К-матрицу основной задачи линейного программирования, определяющую ее исходный опорный план.

Для этой цели рассмотрим любую r -ю строку из первых Р строк матрицы ().

Среди элементов ( ) этой строки есть хотя бы один элемент, отличный от нуля, так как в противном случае ранг матрицы А меньше m.

Выберем этот элемент в качестве направляющего с совершим один шаг метода Жордана-Гаусса преобразования матрицы с выбранным направляющим элементом. В результате базисная искусственная переменная будет заменена одной из основных переменных , а элементы ( n+1) стобца матрицы не изменятся.

После р таких шагов метода Жордана-Гаусса матрица будет преобразована в К-матрицу основной задачи линейного программирования, определяющую ее исходный опорный план

=(, …, ).

Очевидно, этот опорный план будет вырожденным.

3. На S-й итерации симплексного метода в числе базисных оказались искусственные переменные , pm , причем хотя бы одна не равна нулю. В этом случае множество Р планов ЗЛП (3.18) пусто.