- •Учебное пособие
- •Оглавление
- •2. Элементы линейной алгебры 21
- •3. Линейное программирование 48
- •4. Теория двойственности в линейном программировании 100
- •5. Целочисленные модели исследования операций 140
- •6. Экономические задачи, сводящиеся к транспортной модели 163
- •Введение в исследование операций
- •1.1 Основные определения
- •Этапы исследования операций
- •Домашнее задание №1
- •Время, требуемое на обработку каждой модели в каждом цехе
- •2. Элементы линейной алгебры
- •2.1. Алгебра матриц
- •2.1.1. Виды матриц
- •2.1.2. Действия над матрицами
- •Домашнее задание №2
- •2.2. Вычисление определителей
- •Домашнее задание №3
- •2.3. Решение систем алгебраических уравнений
- •2.3.1. Основные понятия и определения
- •2.3.2. Формулы крамера и метод обратной матрицы
- •2.3.3. Метод жордана-гаусса
- •Домашнее задание №5
- •2.4. Векторное пространство
- •2.4.2. Размерность и базис векторного пространства
- •Домашнее задание №6
- •2.5. Решение задач линейной алгебры с помощью ms excel
- •3. Линейное программирование
- •3.1. Постановки задачи линейного программирования
- •3.1.1. Общая постановка задачи линейного программирования
- •3.1.2. Основная задача линейного программирования
- •3.1.3. Каноническая задача линейного программирования
- •3.2. Графический метод решения злп
- •Домашнее задание №7
- •Домашнее задание №8
- •3.3. Анализ решения (модели) на чувствительность
- •Домашнее задание №9
- •3.4. Решение линейных моделей симплекс-методом.
- •Переход от одной к-матрицы злп к другой к-матрице
- •Алгоритм симплекс-метода
- •Домашнее задание №10
- •3.4. Двойственный симплекс-метод (р-метод)
- •Определение р-матрицы злп
- •Условия перехода от одной р-матрицы злп к другой
- •Алгоритм р-метода
- •Решение задач р-методом
- •Домашнее задание №11
- •Домашнее задание №12
- •3.5. Решение злп двухэтапным симплекс-методом
- •Первый этап - решение вспомогательной задачи
- •Второй этап - решение исходной задачи
- •Домашнее задание №13
- •4. Теория двойственности в линейном программировании
- •4.1. Определение и экономический смысл двойственной злп
- •4.2. Основные положения теории двойственности
- •Получение оптимального плана двойственной задачи на основании теоремы 4
- •На первой итерации получен оптимальный план злп (4.24).
- •4.3. Решение злп с помощью Ms Excel
- •4.4. Анализ решения злп на основе отчетов ms excel
- •5. Целочисленные модели исследования операций
- •5.1. Метод ветвей и границ решения целочисленных задач линейного программирования (цзлп)
- •X1, х2 0, целые.
- •Подробное описание метода
- •5.2. Задача коммивояжера
- •Применение метода ветвей и границ для решения задачи коммивояжера
- •Ветвление
- •Построение редуцированных матриц и и вычисление оценок снизу
- •Формирование списка кандидатов на ветвление
- •6. Экономические задачи, сводящиеся к транспортной модели
- •6.1.Транспортная задача линейного программирования
- •Методы составления первоначальных опорных планов
- •Метод потенциалов решения транспортной задачи
- •Проверка выполнения условия оптимальности для незанятых клеток
- •Выбор клетки, в которую необходимо поместить перевозку
- •Построение цикла и определение величины перераспределения груза
- •Проверка нового плана на оптимальность
- •Определение оптимального плана транспортных задач, имеющих некоторые усложнения в их постановке
- •6.2.Экономические задачи, сводящиеся к транспортной модели
- •Оптимальное распределение оборудования
- •Формирование оптимального штата фирмы
- •Задача календарного планирования производства
- •Модель без дефицита
- •Модель с дефицитом
- •6.3.Задача о назначениях
- •Венгерский алгоритм
- •Оптимальное исследование рынка
- •Оптимальное использование торговых агентов
Методы составления первоначальных опорных планов
Метод северо-западного угла используют для нахождения произвольного опорного плана транспортной задачи.
Схема метода:
1) Полагают верхний левый элемент матрицы Х
х11 = min(a1,b1).
Возможны три случая:
а) если a1 < b1, то х11 = а1 и всю первую строку, начиная со второго элемента, заполняют нулями;
б) если a1 > b1, то х11 = b1, а все оставшиеся элементы первого столбца заполняют нулями;
в) если a1 = b1, то х11 = а1 = b1, и все оставшиеся элементы первых столбца и строки заполняют нулями.
2) Пусть проделано k шагов, -й шаг состоит в следующем.
Определяют верхний левый элемент незаполненной части матрицы Х. Пусть это элемент .
Тогда полагают где
и
Если , то заполняют нулями -ю строку начиная с -го элемента. В противном случае заполняют нулями оставшуюся часть -го столбца.
Метод минимального элемента позволяет построить начальный опорный план транспортной задачи и является вариантом метода северо-западного угла, учитывающим специфику матрицы С = (сij)m,n. В отличие от метода северо-западного угла данный метод позволяет сразу получить достаточно экономичный план и сокращает общее количество итераций по его оптимизации.
Схема метода: элементы матрицы С нумеруют, начиная от минимального в порядке возрастания, а затем в этом же порядке заполняют матрицу Х0.
Пусть элементом с минимальным порядковым номером оказался элемент хij0.
Тогда полагают хij0 = min(ai, bj).
Возможны три случая:
а) если min(ai, bj) = ai, то оставшуюся часть i-й строки заполняют нулями;
б) если min(ai, bj) = bj, то оставшуюся часть j-го столбца заполняют нулями.
в) если аi = bj, то оставшуюся часть строки и столбца заполняют нулями.
Далее этот процесс повторяют с незаполненной частью матрицы.
Пусть элементом с k-м порядковым номером оказался .
Тогда , где
Возможны три случая:
а) , тогда и оставшуюся часть строки заполняют нулями;
б) , тогда и остаток столбца заполняют нулями;
в) , тогда оставшуюся часть строки и столбца заполняют нулями.
Метод потенциалов решения транспортной задачи
Для транспортной задачи (ТЗ), как и для любой ЗЛП, существует двойственная к ней задача.
Исходная задача:
; (6.6)
; (6.7)
; (6.8)
. (6.9)
Обозначим двойственные переменные для каждого ограничения вида (6.7) через Ui (i = 1,...,m) и вида (6.8) – Vj (j = 1,...,n), тогда двойственная задача имеет вид
; (6.10)
. (6.11)
Переменные задачи, двойственной к транспортнoй, Ui и Vj называют потенциалами.
Теорема 3. Для оптимальности плана X = (Xij)m*n ТЗ необходимо и достаточно существования чисел (потенциалов) V1, V2,..., Vn и U1, U2,..., Um, таких, что:
для i = 1,...,m, j = 1,..., n,;
, если Xij>0.
Из теоремы следует: для того чтобы опорный план был оптимальным, необходимо выполнение следующих условий:
а) для каждой занятой клетки (отличного от нуля элемента матрицы Х) сумма потенциалов должна быть равна стоимости перевозки единицы груза
; (6.12)
б) для каждой незанятой клетки (Xij = 0) сумма потенциалов должна быть меньше или равна стоимости перевозки единицы груза
. (6.13)
Таким образом, для проверки плана на оптимальность необходимо сначала построить систему потенциалов. Для построения системы потенциалов используем условие
, Xij>0.
Систему потенциалов можно построить только для невырожденного опорного плана. Такой план содержит m + n – 1 занятых клеток, поэтому для него можно составить систему из m + n – 1 линейно-независимых уравнений вида (6.12) с неизвестными Ui и Vj. Уравнений на одно меньше, чем переменных, поэтому система является неопределенной и одному неизвестному (обычно Ui) придают нулевое значение. После этого остальные потенциалы определяются однозначно.