Второй этап - решение исходной задачи

Если на первом этапе решение ВЗ закончилось случаем 1 или 2, то можно перейти ко второму этапу - решению исходной задачи.

(3.81)

(3.82)

(3.83)

так как расширенная матрица системы линейных уравнений (3.82) является К-матрицей.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Вернемся к решению задачи из примера в начале темы. Для задачи (3.51)-(3.53) запишем ВЗ:

-(U₁+U₂+U₃) max (3.84)

2X₁+2X₃+4X₄+X₅+U₁=150

X₁+X₂+2X₅+U₂=200 (3.85)

X₁+X₃+2X₆+U₃=300

_(3.86)

Результаты первого этапа представлены в табл. 3.6.

Таблица 3.6

					0	0	0	0	0	0	-1	-1	-1
S	i
	1	7	-1	150	0	2	2	4	1	0	1	0	0		37.5
0	2	8	-1	200	1	1	0	0	2	0	0	1	0		-
	3	9	-1	300	1	0	1	0	0	2	0	0	1		-
	4			-650	-2	-3	-3	-4	-3	-2	0	0	0
	1	4	0	37.5	0	0.5	0.5	1	0.25	0	0.25	0	0	-	150	-
1	2	8	-1	200	1	1	0	0	2	0	0	1	0	200	100	-
	3	9	-1	300	1	0	1	0	0	2	0	0	1	300	-	150
	4			-500	-2	-1	-1	0	-2	-2	1	0	0
	1	4	0	37.5	0	0.5	0.5	1	0.25	0	0.25	0	0		-
2	2	1	0	200	1	1	0	0	2	0	0	1	0		-
	3	9	-1	100	0	-1	1	0	-2	2	0	-1	1		50
	4			-100	0	1	-1	0	2	-2	1	2	0
	1	4	0	37.5	0	0.5	0.5	1	0.25	0	0.25	0	0
3	2	1	0	200	1	1	0	0	2	0	0	1	0
	3	6	0	50	0	-0.5	0.5	0	-1	1	0	-0.5	0.5
	4			0	0	0	0	0	0	0	1	1	1

На третьей итерации симплексного метода получен оптимальный план вспомогательной задачи: =(200; 0; 0; 37.5; 0; 50; 0; 0; 0),

в котором ни одна из искусственных переменных не является базисной, следовательно, вектор =(200; 0; 0; 37.5; 0; 50) является невырожденным опорным планом исходной задачи, определяемым К-матрицей.

На втором этапе решаем задачу

max(-0.4X₁-0.3X₂-0.1X₃-0.1X₅-0.2X₆)

.

Решение приведено в табл. 3.7.

Таблица 3.7

					-0.4	-0.3	-0.1	0	-0.1	-0.2
S	i
	1	4	0	37.5	0	0.5	0.5	1	0.25	0	150
0	2	1	-0.4	200	1	1	0	0	2	0	100
	3	6	-0.2	50	0	-0.5	0.5	0	-1	1	-
	4			-90	0	0	0	0	-0.5	0
	1	4	0	12.5	-0.125	0.375	0.5	1	0	0	25
1	2	5	-0.1	100	0.5	0.5	0	0	1	0	-
	3	6	-0.2	150	1	0	1	0	0	1	300
	4			-40	0.25	0.25	0	0	0	0
	1	3	-0.1	25	-0.25	0.75	1	2	0	0
2	2	5	-0.1	100	0.5	1	0	0	1	0
	3	6	-0.2	137.5	0.625	-0.375	0	-1	0	1
	4			-100	0.25	0.25	0	0	0	0

На первой итерации (табл. 3.7.) второго этапа получен оптимальный план исходной задачи ₁=(0; 0; 12.5; 100; 150) и =40.

Так как =0, а вектор не является базисным, то его можно ввести в базис, и при этом в соответствии с формулой (3.28) значение целевой функции не изменится, т.е. на второй итерации можно получить еще один оптимальный план исходной задачи

₂=(0; 0.25; 0; 100; 137.5) и =40.

Исходная задача имеет бесчисленное множество решений, задаваемое формулой _(3.87)

Пример 3.15. Решить ЗЛП:

max(2X₁-X₂-X₄)

X₁-2X₂+X₃=10

-2X₁-X₂-2X₄18 (3.88)

3X₁+2X₂+X₄36

Приведем ЗЛП (3.88) к каноническому виду

max(2X₁-X₂-X₄)

X₁-2X₂+X₃=10

-2X₁-X₂-2X₄- S₁ =18 (3.89)

3X₁+2X₂+X₄-S₂ =36

Расширенная матрица системы линейных уравнений (3.89)

не является К-матрицей ЗЛП (3.89) , т.к. не содержит единичной подматрицы.

Запишем вспомогательную задачу для ЗЛП (3.89) . Т.к. матрица содержит один единичный вектор =(1; 0; 0), то при формулировке ВЗ достаточно ввести лишь две искусственные переменные U₁ ;U₂ во второе и третье уравнения системы (3.89).

Итак, ВЗ имеет вид

-(U₁+U₂) max

X₁-2X₂+X₃=10

-2X₁-X₂-2X₄-X₅+U₁=18 (3.90)

3X₁+2X₂+X₄-X₆+U₂=36

; U₁ ,U₂ 0

Решение ВЗ приведено в табл 3.8.

Таблица 3.8

					0	0	0	0	0	0	-1	-1
S	i
	1	3	0	10	-1	-2	1	0	0	0	0	0	-
0	2	7	-1	18	-2	-1	0	-2	-1	0	1	0	-
	3	8	-1	36	3	2	0	1	0	-1	0	1	18
	4			-54	-1	-1	0	1	1	1	0	0
	1	3	0	46	2	0	1	1	0	-1	0	1
1	2	7	-1	36	-0.5	0	0	-1.5	-1	-0.5	1	0.5
	3	2	0	18	1.5	1	0	0.5	0	-0.5	0	0.5
	4			-36	0.5	0	0	1.5	1	0.5	0	0.5

На первой итерации получен оптимальный план.

=( 0; 18; 46; 0; 0; 36; 0 ).

Т.к. вектор имеет отличную от нуля искусственную переменную U₁=36, то множество планов ЗЛП (3.88 ) пусто в силу несовместности системы уравнений (3.89).