Домашнее задание №13

Предприятию необходимо выпустить по плану продукции А₁ – ровно 500 единиц, А₂ – ровно 300 единиц, А₃ – ровно 450 единиц. Каждый вид изделия может производиться на двух машинах. Как распределить работу машин, чтобы общие затраты времени на выполнение плана были минимальными, если задана матрица затрат. Ресурс времени каждой машины приведен справа от таблицы.

Решить задачу двухэтапным симплекс-методом:

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10. 11. 12.

13. 14. 15.

16. 17. 18.

19. 20. 21.

22. 23. 24.

25.

0,200); 30

4. Теория двойственности в линейном программировании

В данном разделе вводится важное понятие теории линейного программирования – понятие двойственности. Двойственная задача - это вспомогательная задача линейного программирования (ЛП), формулируемая с помощью определённых правил непосредственно из условий исходной (прямой) задачи. Часто рассматриваются формулировки двойственной задачи, соответствующие различным формам записи прямой задачи. Однако опыт показывает, что на начальной стадии изучения ЛП детали различных формулировок двойственной задачи нередко затрудняют восприятие материала. Кроме того, практическое использование теории двойственности не требует знания деталей различных формулировок двойственной задачи. Здесь даётся обобщённая формулировка двойственной задачи ЛП, которая применима к любой форме представления прямой задачи. Это объясняется тем, что использование симплексного и других методов решения задач ЛП требует приведения ограничений любой задачи ЛП к стандартной (канонической) форме, поэтому двойственная задача будет сформулирована в соответствии со стандартной формой ограничений прямой задачи.

4.1. Определение и экономический смысл двойственной злп

Пусть прямая задача записана с ограничениями в каноническом виде:

; (4.1)

; (4.2)

. (4.3)

Задачей, двойственной к ЗЛП (4.1)-(4.3), называется следующая ЗЛП

; (4.4)

; (4.5)

не ограничены в знаке, i = 1. m. (4.6)

Двойственная ЗЛП строится по следующим правилам:

1) Каждому ограничению прямой задачи соответствует переменная двойственной задачи, т.е. число переменных двойственной задачи равно числу ограничений прямой задачи.

2) Каждой переменной прямой задачи соответствует ограничение двойственной задачи, т.е. число ограничений двойственной задачи равно числу переменных прямой задачи.

3) Матрица функциональных ограничений двойственной задачи получается путем транспонирования матрицы функциональных ограничений прямой задачи.

4) Вектор целевой функции прямой задачи становится вектором правой части ограничений двойственной задачи, а вектор правой части прямой задачи – вектором целевой функции двойственной задачи.

5) Если ЦФ прямой задачи максимизируется, то ЦФ двойственной задачи минимизируется, а ограничения имеют вид ≥, и наоборот.

Прямая задача	Двойственная задача
P =	Q = – не ограничен в знаке	(4.7)
P =	Q = не ограничен в знаке	(4.8)

Пример 4.1. Пусть прямая задача записана в виде основной ЗЛП:

(4.9)

Приведем ограничения задачи (4.9) к канонической форме:

(4.10)

Тогда двойственная задача (ДЗ) будет иметь вид:

.

(4.11)

Пример 4.2.

Прямая задача:

Прямая задача с ограничениями в канонической форме

S₁ ≥ 0

Двойственная задача

y_1,2 не ограничены в знаке.

Ограничение , т.е. является более жестким, чем условие неограниченности у₁ в знаке, поэтому двойственная задача может быть записана в следующем виде:

у₂ не ограничена в знаке.

Пример 4.3. Прямая задача

min(5X₁ – 2X₂);

–X₁ + X₂ ≥ –3;

2X₁ + 3X₂ ≤ 5;

X_1,2 ≥ 0.

Прямая задача с ограничениями в канонической форме:

min(5X₁ – 2X₂ + 0S₁ + 0S₂);

–X₁ + X₂ – S₁ = –3;

2X₁ + 3X₂ + S₂ = 5;

Двойственная задача:

max(–3У₁ + 5У₂);

–У₁ + 2У₂ ≤ 5;

У₁ + 3У₂ ≤ –2;

–У₁ + 0У₂ ≤ 0;

0У₁ + У₂ ≤ 0;

У_1,2 не ограничены в знаке.

Отбрасывая избыточные ограничения, получаем:

max(–3У₁ + 5У₂);

–У₁ + 2У₂ ≤ 5;

У₁ + 3У₂ ≤ –2;

У₁ ≥ 0, У₂ ≤ 0.

Пример 4.4. Прямая задача:

max(5X₁ + 6X₂);

X₁ + 2X₂ = 5;

–X₁ + 5X₂ ≥ 3;

4X₁ + 7X₂ ≤ 8.

X₁ не ограничена в знаке, X₂ ≥ 0.

Прямая задача с ограничениями в канонической форме:

max(5 – 5 + 6X₂ + 0S₁ + 0S₂);

+ 2X₂ = 5;

+ 5X₂ – S₁ = 3;

4 + 7X₂ + S₂ = 8;

Двойственная задача:

min(5У₁ + 3У₂ + 8У₃);

У₁ – У₂ + 4У₃ ≥ 5;

–У₁ + У₂ – 4У₃ ≥ –5;

2У₁ + 5У₂ + 7У₃ ≥ 6;

0У₁ – У₂ + 0У₃ ≥ 0;

0У₁ + 0У₂ + У₃ ≥ 0.

У_1,2,3 не ограничены в знаке.

Заметим, что первое и второе ограничения двойственной задачи можно заменить одним ограничением в виде равенства, избыточные ограничения на У₂ и У₃ можно отбросить. В итоге получаем:

min(5У₁ + 3У₂ + 8У₃);

У₁ – У₂ + 4У₃ = 5;

2У₁ + 5У₂ + 7У₃ ≥ 6;

У₁ не ограничена в знаке;

У₂ ≤ 0, У₃ ≥ 0.

Очевидно, что задача, двойственная к двойственной, совпадает с прямой.