21. Сформулируйте и докажите теорему о существовании решения задачи линейного программирования в случае ограниченной целевой функции

Теорема: если в задаче в ЗЛП допустимое множество непусто и целевая функция ограничена, то существует хотя бы одно оптимальное решение.

Доказательство:

Заметим, что если целевая функция f – константа, то доказывать нечего. Для определенности будем считать, что решается задача нахождения минимума f, а значит, функция f ограничена снизу на Х. Рассмотрим вначале случай, когда f(x)=x₁. Проекция множества Х на координатную прямую х₁ (то есть на плоскость х₂ = х₃ = …= x_n = 0) есть выпуклая многогранная область в R¹. Последняя в силу ограниченности х₁ снизу есть либо отрезок [a,b], либо луч [a, ∞). В обоих случаях min f = a .

Пусть теперь - какая угодно линейная функция. Хотя бы один из коэффициентов не равен нулю, пусть, например, . Перейдем тогда в пространстве Rⁿ к новым координатам по формулам

,

,

…,

, или, что то же,

,

,

… ,

.

Любое линейное неравенство с переменными х_1, …, х_n перепишется в виде линейного неравенства с у₁, …, у_n , поэтому выпуклая многогранная область Х в координатах х_1, …, х_n превратится в выпуклую многогранную область Y в координатах у₁, …, у_n . При этом f=y₁, а значит, по доказанному, f достигает минимума в Y.

22. Сформулируйте и докажите теорему о достижимости оптимального решения в угловой точке.

Теорема: Линейная функция достигает экстремума в угловой точке выпуклого множества.

Доказательство:

1. Пусть X* - точка экстремума, тогда Z(X*) > Z(X) для любого XG.

Пусть X* не является угловой точкой. Тогда X*=k₁X₁+k₂X₂+...+knXn,

ki≥0, k1+k2+..+kn=1, где Xi- угловые точки G.

Найдем Z(X*) = СХ* =C k₁X₁ +C k₂X₂ +...+C knXn = k1 C X1 + k2 C X2 +...+ kn C Xn = k1 Z(X1 )+ k2 Z( X2 )+...+ kn Z(Xn )

Пусть max Z(Xj ) =Z(Xk) =>

Z(X*) ≤ k1Z(Xk)+k2Z(Xk)+...+knZ(Xk) =Z(Xk)(k1+k2+..+kn)=Z(Xk).

Противоречие! X* — экстремальное решение и в задаче на максимум Z(X*) > Z(X) для любого XG

=> X* является угловой точкой выпуклой области допустимых решений.

23. Сформулируйте и докажите теорему о достижимости оптимального решения на выпуклой линейной комбинации оптимальных угловых точек.

Теорема: Если линейная функция достигает экстремума в нескольких угловых точках выпуклого многогранного множества, она также достигает экстремума в любой выпуклой линейной комбинации этих точек.

Доказательство:

Пусть угловые точки выпуклой области X1 , X2 , …, Xp являются экстремальными решениями, т.е. Z(X1) = Z(X2) = ... = Z(Xp) и Z(X1) > Z(X) для любого XG.

X*= k1X1+k2X2+...+kpXp, ki≥0 , k1+k2+..+kp=1 ;

Z(X*) = СХ* = C k1X1 +C k2X2 +...+C kpXp = k1 C X1 + k2 C X2 +...+ kp C Xp =

= k1 Z(X1 )+ k2 Z( X2 )+...+ kp Z(Xp ) =Z(X1)(k1+k2+..+ kp)=Z(X1).

Решение X* также является оптимальным.

24. В чем состоит графический метод решения задачи лп в случае

двух переменных? Какие еще случаи допускают графическое решение?

Приведите примеры.

Задача с двумя переменными

z=c₁x₁+c₂x₂

Пусть система ограничений совместна, т.е. имеет решение, а многоугольник ее решений (ОДР) ограничен.

Каждое из неравенств определяет полуплоскость с границей а_i1х₁+а_i2x₂=b_i, i=1, 2, ..., n или х₁=0, x₂=0.

Представим этот многоугольник на плоскости Ох₁x₂.

ось абсцисс –x1, ординат-x2. Данный пятиугольник-ABCDE.

Алгоритм решения задачи линейного программирования с двумя переменными графическим методом:

1. Строится ОДР.

2. Из начала координат строится вектор нормали N=(c₁, c₂).

3. Перпендикулярно вектору N проводится линия уровня c₁x₁+с₂x₂=0, проходящая через начало координат.

4. Линия уровня перемещается до положения опорной прямой, на которой будет находиться максимум или минимум функции.

В зависимости от вида ОДР и целевой функции z(X) ЗЛП

25. Опираясь на алгоритм графического метода, постройте ЗЛП с

целевой функцией f( x₁, x₂ )= x₁ + x₂ , в которой существует единственная

точка максимума и бесконечное множество точек минимума. Допустимую

область задачи изобразите на чертеже и задайте системой неравенств.

x₁+x₂>6

x₁-x₂<4

x₂-4<0

26. Опираясь на алгоритм графического метода, постройте ЗЛП с

целевой функцией f( x₁, x₂ )= x₁ + x₂, в которой существует единственная

точка минимума и бесконечное множество точек максимума. Допустимую область задачи изобразите на чертеже, и задайте системой неравенств.

x₁>3

x₂>3

x₁+x₂ <11

27.

ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ИМЕЕТ ВИД

Тогда допустимая область задачи будет иметь вид

Где n - вектор нормали целевой функции (1,1).

28.

ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ИМЕЕТ ВИД

Тогда допустимая область задачи будет иметь вид

Где n - вектор нормали целевой функции (1,1).

29.

ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ИМЕЕТ ВИД

Тогда допустимая область задачи будет иметь вид

Где n - вектор нормали целевой функции (1,1).