60. Сформулируйте определения следующих понятий: свободная

клетка, занятая клетка, оценка свободной клетки, цикл, перестановка по

циклу. В чем состоит условие оптимальности опорного плана?

Свободная клетка- клетка в которой нет перевозки; занятая клетка – клетка в которой есть перевозки. Оценка свободной клетки -  Величина Δ _ij = ui + v j – cij

Циклом называется такая последовательность клеток

таблицы транспортной задачи (i1, j1 ), (i1, j2 ), (i2 , j2 ),…,(ik , j1 ) , в которой две и только дне

соседние клетки расположены в одной строке или столбце, причем первая и последняя

клетки также находятся в одной строке или столбце.

Перестановка по циклу:

Сдвигом по циклу на величину t называется увеличение объемов перевозок во всех нечетных клетках цикла, отмеченных знаком “+”, на t и уменьшение объемов перевозок во всех четных клетках, отмеченных знаком “-“, на t.

Условие оптимальности плана:

План X * = (x_ij^* ) (i =1,m, j =1, n) , при котором целевая функция принимает минимальное значение, называется оптимальным планом транспортной задачи.

61. Обоснуйте метод потенциалов с помощью основных теорем двойственности.

Метод потенциалов

Теорема 11. Если допустимое решение

транспортной задачи является оптимальным, то существуют потенциалы поставщиков

и потребителей удовлетворяющие условиям:

Доказательство.

Двойственная задача:

Т.к. " столбец (вектор-условие)

=> " ограничение двойственной задачи содержит только две переменные.

По второй теореме двойственности, если

Если

уравнений, неизвестных. Одно неизвестное задаем произвольно,

остальные находимы.

используются для проверки оптимальности опорного

решения.

-оценки свободных клеток таблицы или векторов-условий транспортной задачи, не входящих в базис опорного решения. Признак оптимальности:

61. Постановка задачи о кратчайшем пути. Приведите пример.

ЗАДАЧА О КРАТЧАЙШЕМ ПУТИ - Задача о нахождении на ориентированном графе пути наименьшей длины между двумя заданными его вершинами.Длиной пути такого графа называется сумма длин дуг, составляющих этот путь.Пример:Найти кратчайший маршрут на графе:

63)Алгоритм Дейкстры поиска кратчайшего маршрута на графе.

Приведите пример его применения.

Алгори́тм Де́йкстры (Dijkstra’s algorithm) — алгоритм на графах, изобретённый нидерландским ученым Э. Дейкстрой в 1959 году. Находит кратчайшее расстояние от одной из вершин графа до всех остальных. Алгоритм работает только для графов без рёбер отрицательного веса.

Алгоритм:

Для любой вершины графа присваивается оценка d(x) – оценка пути от s к x

- оценка длины пути от s к x;

s – начальная вершина; t – конечная вершина.

1. 

- окончательная оценка

2. с промежуточной оценкой d(x)

Пересчитываем:

3. Выбираем среди полученных d(x) минимальное по всем x (промежуткам)

4. Если получена окончательная оценка d(t), то задача решена. Иначе lll.

   3

Пример.

1

2

3

2

7

1. d(1)=0 - окончательная оценка => y=1; d(2)=∞, d(3)=∞;

2. d(2)=min {d(2); d(1)+d(1,2)}=min{∞; 0+3}=3

d(3)=min {d(3); d(1)+d(1,3)}=min{∞; 0+7}=7

A(2)=3-min => d(2)=3 – окончательная оценка => y=2

3. d(3)=min {d(3); d(2)+d(2,3)}=min{7; 3+2}=5

Получаем:

d(1)=0 - окончательная оценка

d(2)=3 - окончательная оценка

d(3)=5 y=3 – из него нет путей => оценки не изменятся.

Окончательный ответ: минимальный путь из 1 в 3 это {(1,2),(2,3)}.