57. Сформулируйте и докажите критерий разрешимости транспортной задачи.

Необходимым и достаточным условием разрешимости транспортной задачи является равенство:

Доказательство. Необходимость. Пусть ( , )

есть оптимальное решение задачи (1)–(4)

-> min (1)

(2)

(3)

(4)

=> оно допустимое, то есть

,

Достаточность. Докажем, что если = = M , то $ оптимальное решение.

1. Докажем что область допустимых решений (ОДР) не пуста, то есть $ хотя бы одно допустимое решение. Положим

= ( , )

( )

()

=> - допустимое решение

2. Докажем, что ОДР - ограниченное множество.

()

=> 0 ( )

=> ОДР – ограниченное множество

3. Докажем, что $ оптимальное решение

C D ( ) =>

=>

CM DM

Целевая функция ограничена на ОДР.

А поскольку она непрерывна, то по т.Вейерштрасса она достигает своего min и max на ОДР.

58. Опишите методы построения начального опорного плана транспортной задачи (метод северо-западного угла, метод минимального тарифа). Приведите примеры и сравните общую стоимость перевозок для полученных опорных планов.

Метод минимального тарифа

На каждом шаге следует выбирать какую-нибудь клетку, отвечающую минимальному тарифу (если таких клеток несколько, то следует выбрать любую из них), и рассмотреть пункты назначения и отправления, соответствующие выбранной клетке.

X=

F(X)=1*160+4*120+8*20+2*50+3*30+6*90=1530

Метод северо-западного угла

На каждом шаге рассматривают первый из оставшихся пунктов отправления и первый из оставшихся пунктов назначения. Заполнение клеток таблицы начинается с левой верхней клетки для неизвестного (“северо-западный угол ”) и заканчивается клеткой для неизвестного, то есть идет как бы по диагонали таблицы из левого верхнего угла в правый нижний угол.

Замечание. Метод северо-западного угла не учитывает стоимость перевозок, поэтому опорное решение, построенное данным методом, может быть далеко от оптимального.

X=

F(X) =7*120+8*40+5*10+9*130+3*60+6*110=3220>1530

59. Опишите схему решения транспортной задачи методом потенциалов. Приведите пример.

Сформулируем алгоритм решения транспортной задачи методом

потенциалов.

1. Проверим выполнение необходимого и достаточного условия разрешимости

задачи. Если задача имеет неправильный баланс, то введем фиктивного поставщика или

потребителя с недостающими запасами или потребностями и нулевыми тарифами.

2. Построим начальное опорное решение (обычно методом минимального тарифа)

и проверим правильность его построения, для чего подсчитывают количество занятых

клеток (их должно быть m + n -1) и убедимся в линейной независимости векторов-

условий (методом вычеркивания).

3. Запишем систему потенциалов, соответствующих опорному решению. Для

этого решим систему уравнений u_i + v _j = c_ij при x_ij >0 .

Для того чтобы найти частное решение системы, одному из потенциалов (обычно

тому, для которого больше занятых клеток) зададим произвольно некоторое значение (чаще нуль). Остальные потенциалы однозначно определяются по формулам ui = cij - v j

при xij >0 , если известен потенциал v j , и v j =cij - ui при xij > 0 , если известен потенциал

ui .

4. Проверим, выполняется ли условие оптимальности для свободных клеток

таблицы. Для этого вычислим оценки для всех свободных клеток по формулам

ij =ui + v j - cij при xij= 0 , и те оценки, которые больше нуля, запишем в левые нижние

углы клеток. Если для всех свободных клеток ij < 0 , то вычислим значение целевой

функции и прервем процесс, так как полученное решение является оптимальным. Если же имеется хотя бы одна клетка с положительной оценкой, то перейдем к следующему

пункту, поскольку опорное решение не является оптимальным.

5. Перейдем к новому опорному решению, на котором значение целевой функции

будет меньше. Для этого найдем клетку таблицы, которой соответствует наибольшая

положительная оценка =

Построим цикл, включающий данную клетку и часть клеток, занятых опорным

решением. В клетках цикла расставим поочередно знаки “+” и “-“, начиная с “+” в

клетке с наибольшей положительной оценкой. Выполним сдвиг по циклу на величину

t= Клетка со знаком “-“, в которой достигается , остается пустой. Если минимум достигается в нескольких клетках, то одна из них остается пустой, а в

остальных записываются базисные нули, чтобы число занятых клеток оставалось

равным m + n -1. Затем переходим к пункту 3.

Пример: Методом потенциалов найти оптимальное решение транспортной задачи.

Таблица 6

Пункт отправления	Пункт назначения							Наличие груза, т
	B1		B2		B3
	2		8		5
A1	3		8		6		80
A2	2		4		1		100
Потребность в грузе, т	40		30		110
Пункт отправления	Потенциалы	Пункт назначения								Наличие груза, т
		B1		B2		B3
		3		8		6
A1	0	3 40		8 30		6 10			80
A2	-5	2 -		4 -		1 100			100
Потребность в грузе, т		40		30		110

Строим начальное решение методом минимального тарифа и проверяем методом потенциалов:

1)находим потенциалы u_i + v _j = c_ij при x_ij >0

Проверяем на оптимальность: ui + v j – cij<0 при xij= 0 =>план оптимален.