49. Постановка взаимно-двойственных задач. Поясните (можно на примере) экономическую суть понятия двойственности.

Двойственная задача к задаче оптимального использования ресурсов.

P₁, P₂ ,... P_n — виды продукции.

S₁, S₂, ... S_m — сырье

B=(b₁, b₂, ... b_m) — объемы (запасы) сырья

a_ij (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n) — расход i-го сырья на производство единицы j-й продукции.

С=(c₁, c₂, ... c_n) — прибыль от реализации единицы продукции.

X=(x₁, x₂, ... x_n) — объемы производства продукции.

Математическая модель ЗЛП

II производитель хочет перекупить сырье. Каковы оптимальные условия продажи сырья?

Y=(y₁, y₂, ... y_m) — цены единицы сырья.

b_i y_i — затраты на покупку b_i единиц i – го сырья.

II выгодно минимизировать затраты на покупку сырья.

I выгодно продавать сырье, если общая стоимость сырья, расходуемого на каждое изделие не меньше прибыли от продажи этого изделия.

50. Сформулируйте и докажите основное неравенство для взаимно-двойственных задач линейного программирования. Сформулируйте достаточный признак оптимальности.

Основное неравенство для двойственных задач

Пусть X – какое-нибудь допустимое решение исходной задачи, а Y – какое-нибудь допустимое решение двойственной задачи.

Тогда справедливо неравенство

Доказательство

Следствие 1

Достаточный признак оптимальности.

Если для каких-то допустимых решений X ^*

И Y ^* исходной и двойственной задач выполняется равенство

то X ^* есть оптимальное решение исходной задачи , а Y ^* – оптимальное решение двойственной задачи.

Доказательство

51. Сформулируйте основную теорему двойственности для симметричных задач. Какой критерий оптимальности решения вытекает из этой теоремы?

Симметричные пары

I () II

()

Основная теорема двойственности для симметричных задач.

Если разрешима одна из двойственных задач I или II, то разрешима и другая, причём

Критерий оптимальности.

Пусть и - допустимые решения задач I и II (соответственно). Для того чтобы было оптимальным решением задачи I, а - оптимальным решением задачи II, необходимо и достаточно выполнение равенства

52. Сформулируйте и докажите теорему равновесия для двойственных задач.

Теорема (Равновесия). Пусть X и Y -допустимые решения задач I и II. Для одновременной оптимальности этих решений необходимо и достаточно выполнение равенств:

, где

Доказательство.

Для оптимальности X и Y необходимо и достаточно выполнение равенства или, как следует из неравенства , одновременное выполнение двух равенств:

Раскрывая произведение по правилу умножения матриц, найдём, что оно представляет собой число, равное сумме всех чисел вида . Пусть задача I имеет размеры , тогда равенства примут вид:

,

где в знаке суммирования индекс i принимает значения 1,…,m, а индекс j – значения 1,…,n.

Запишем (5) по-другому:

или, что то же,

(7)

Аналогичным образом запишется и равенство (6)

(8)

Итак, для оптимальности решений X и Y необходимо и достаточно (одновременное) выполнение равенств (7) и (8)

Учитывая, что слагаемые в (7) имеют один и тот же знак (ибо все и все ), приходим к заключению, что равенство (7) эквивалентно системе равенств (1); аналогично равенство (8) эквивалентно системе равенств (2). Теорема доказана.