47. Теорема о конечности симплекс-метода для невырожденной задачи лп.

         Допустимое базисное решение называется невырожденным, если значения всех базисных переменных положительны (≠0).

            Задача ЛП называется невырожденной, если допустимые базисные решения всех эквивалентных ей задач невырождены.

            Теорема

            Для невырожденной задачи ЛП симплекс-метод завершается через конечное число итераций.

48

Основной идеей теории двойственности является то, что с каждой задачей линейного программирования связана другая линейная задача – двойственная. Первоначальная задача называется исходной.

Связь исходной и двойственной задач следующая. Коэффициенты функции цели исходной задачи представляют собой свободные члены системы ограничений двойственной задачи. Коэффициенты функции цели двойственной задачи являются свободными членами системы ограничений задачи исходной. Матрица коэффициентов системы ограни­чений двойственной задачи является транспонированной матрицей коэффициентов системы ограничений исходной задачи. Решение исходной задачи может быть получено из решения двойственной задачи и наоборот.

Задача I	Задача II
x1≥0, x2≥0, (1) x3≥0; x1+ x2+ 5x3≤35, (2) 2x1+ x2+ 2x3≤20. f = 7x1 + 6x2 + 18x3 → max.	y1≥0, (3) y2≥0. y1 + y2 ≥ 7, y1 + y2 ≥ 6, (4) 5y1 + 2y2 ≥ 18. ᵠ = 35 y1 + 20 y2 → min.

Задачи I и II называются двойственными друг другу.

Сделаем следующие замечания:

1. Первая задача имеет размеры m˟n (m ограничений с n неизвестными), вторая – размеры n˟m.

2. Матрицы из коэффициентов при неизвестных в левых частях ограничений обеих задач – взаимно транспонированные. В задаче I матрица из коэффициентов при x₁, x₂, x₃ есть

1 1 5

2 1 2 ,

в то время, как в задаче II матрица коэффициентов при y₁, y₂есть

1 2

1 1

5 2 .

3. В правых частях ограничений в каждой задаче стоят коэффициенты пр неизвестных в целевой функции другой задачи.

4. В задаче I все ограничения представляют собой неравенства типа ≤, и в этой задаче требуется достичь максимума f. А в задаче II все ограничения типа ≥, причем требуется достичь минимума ᵠ.

Если записать задачи I и II в общем виде получим:

Задача I	Задача II
x1≥0, x2≥0, (5) x3≥0; a11 x1+ a12x2+ a13x3≤b1, (6) a21x1+ a22x2+ a23x3≤b2. f = c1x1 + c26x2 + c3x3 → max.	y1≥0, (7) y2≥0. a11y1 + a21y2 ≥ c1, a12y1 + a22y2 ≥ c2, (8) a13y1 + a23y2 ≥ c3. ᵠ = b1y1 + b2y2 → min.