matan

где 0<θ<1.

2. Остаточный член в форме Коши имеет вид:

3. Остаточный член в форме Пеано имеет вид

Отметим, что последняя форма Rn+1(x) показывает, что Rn+1(x) бесконечно малая при х→а более высокого порядка малости, чем (x-a)n.

2.13. Формула Маклорена. Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций

Формулой Маклорена называют формулу Тейлора с центром в точке а=0, т.е. формула Маклорена дает представление функции в окрестности точки х=0. Ниже приведем формулу Маклорена и разные виды остаточного члена Rn+1(x).

Итак имеем:

R n +1 (x)= 0(xn ) (форма Пеано). (2.79)

Пользуясь (2.76) можно без труда получить разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена. Ниже приведем эти разложения.

где остаточный член в форме Лагранжа имеет вид

71

R n +1 (x)= (ne+θx1)! xn +1 ,

причем на любом сегменте [-ε; ε] (ε>0)

R n +1 (x) < (nε+θx1)! eε .

где остаточный член в форме Лагранжа имеет вид:

x2n +3

R 2n +3 (x)= (−1)n +1 cosθx (2n +3)! ,

причем на любом сегменте [-ε; ε] (ε>0)

причем на любом семщение [-ε; ε] (ε>0)

ε2n +2

R 2n +2 (x) ≤ (2n +2)! .

где остаточный член в форме Лагранжа имеет вид

Rn+1 (x)= ( +(−)(1)n+xθn+1)n+1

n 1 1 x

5.

72

+R n +1 (x)

где есть вещественное число, а остаточный член Rn+1(x) в форме Лагранжа имеет вид

R n +1 (x)= α(α −1)((α −+2))...(α − n)(1 + θx)α−(n +1) xn +1 n 1 !

где остаточный член в форме Пеано имеет вид

R 2n +3 (x)= 0(x2n +3 ).

В заключении этого пункта отметим, что разложения элементарных функций по формуле Маклорена имеют большое практическое значение. Например, с их помощью можно вычислить пределы, интегралы, а также выполнить приближенные вычисления.

Так как в знаменателе старшая степень х - третья, то в числителе нужно учитывать степени, не выше третьей. Если пользоваться разложениями (2.81), (2.82), то получим

esin x =1 + x + 12 x2 +0(x3 ), etgx =1 + x + 12 x2 + 12 x3 +0(x3 )

Подставляя последние разложения в (2.86), имеем

Отметим, что при решении этого примера использование правила Лопиталя было бы затруднительным, в то время как применение формулы Маклорена опиралось только на известные разложения элементарных функций.

73

2.14. Интервалы монотонности и точки экстремума функции

Напомним, что функция называется возрастающей (убывающей) или строго монотонной в интервале, если в любой его точке при ∆х>0

∆f(x)>0 (∆f(x)<0) или при ∆x<0 ∆f(x)<0 (∆f(x)>0). Для возрастающей функции ∆х и ∆f(x) одного знака, а для убывающей - разных.

Функция называется неубывающей (невозрастающей) или монотонной на интервале, если в каждой его точке при ∆х>0 ∆f(x)≥0 (∆f(x)≤0) или при ∆х<0 ∆f(x)≤0 (∆f(x)≥0).

Теорема 2.16. (необходимое и достаточное условие монотонности функции на интервале).

Функция y=f(x), дифференцируемая на интервале, неубывает (невозрастает) или монотонна на этом интервале тогда и только тогда, когда ее производная f′(x)≥0 (f′(x)≤0) во всех точках интервала.

Теорему докажем для случая неубывающей функции (для невозрастающей функции теорема доказывается аналогично).

Необходимость.

Дано: f(x) неубывающая на интервале. Доказать: f′(x)≥0 на интервале.

Так как функция y=f(x) неубывающая, то в каждой точке

интервала справедливо неравенство ∆∆f(xx) ≥ 0 .

Следовательно, lim ∆f(x) = f' (x)≥ 0 .

∆x→0 ∆x

Достаточность:

Дано: f′(x)≥0 на интервале.

Доказать: f(x) неубывающая на интервале.

Запишем приращение функции ∆f(x), используя формулу Лагранжа (2.66), переписав ее в виде

∆f(x)=f′(x+θ∆x)∆x, (0<θ<1).

Отсюда видно, что если ∆х>0 и f′(x)≥0, то ∆f(x)≥0, а если ∆х<0 и f′(x)≥0, то ∆f(x)≤0. Таким образом, при f′(x)≥0 функция f(x) неубывающая.

Теорема 2.16. указывает на то, что знак производной характеризует поведение функции, ее возрастание (неубывание) или убывание (невозрастание). Другими словами смена знака производной функции является признаком изменения характера поведения функции в этом аспекте. Точки, в которых непрерывная функция от возрастания переходит к убыванию или наоборот, и являются точками экстремума.

74

Заметим, что если в точке х0 функция f(x) имеет экстремум и она дифференцируема в точке х0, то, как уже было показано ранее (см. теорему Ферма 2.9), f′(x)=0. Но можно привести пример и функций, непрерывных и не дифференцируемых в точке х0 и имеющих экстремум в точке х0.

Пример. Исследуем поведение функции f ( x ) = 3 x 2 вокруг точки х0=0. Так как f′(x)= 332x , то ясно, что f′(x<0)<0 и f′(x>0)>0, т.е.

точка х0=0 является для функции f(x)= 3 x2 точкой минимума, хотя не существует f' (x)x=0 .

Таким образом, обобщенное необходимое условие экстремума функции f(x) может быть сформулировано так: если в точке х0 функция f(x) имеет экстремум, то в этой точке или f′(x0)=0, если функция дифференцируема в точке х0, или f′(x) вообще не существует. Точки, в которых f′(x0)=0 или f′(x) не существует, называются критическими.

Теорема 2.17. (достаточное условие экстремума функции).

Если функция f(x) непрерывна в точке х0, дифференцируема в ее окрестности и при переходе через точку х0 ее производная f′(x) меняет знак, то точка х0 является точкой экстремума, причем, если f′(x<x0)<0 и f′(x>x0)>0, то точка х0 есть точка минимума, а если f′(x<x0)>0 и f′(x>x0)<0, то точка х0 есть точка максимума (рис. 2.6)

Рис. 2.6.

2.15. Направление выпуклости графика функции. Точки перегиба

Определения 2.12. График дифференцируемой функции f(x) на интервале (a;b) имеет выпуклость, направленную вверх (вниз), если в

75

пределах этого интервала он лежит не выше (не ниже)любой своей касательной (рис. 2.7).

f(x)

Рис. 2.7.

Теорема 2.18. Если на интервале (a;b) функция f(x) дважды дифференцируема и f′′(x) неположительна (неотрицательна), то график функции f(x) на (a;b) имеет выпуклость направленную вверх (вниз) (рис. 2.7).

Определение 2.13. Точка (x0,f(x0)) графика функции f(x) называется точкой перегиба, если существует окрестность точки х0, в которой график функции слева и справа от точки х0 имеет разные направления выпуклости. В такой точке график функции переходит через касательную (рис. 2.8).

f(x)

(x0 ,f(x0 ))

Рис. 2.8.

Теорема 2.19. (необходимое условие точки перегиба).

Если точка М0(х0,f(x0)) является точкой перегиба графика функции f(x), которая в этой точке имеет непрерывную производную второго порядка f′′(x), то f'' (x)x=x0 = 0 .

Доказательство.

Дано: точка М0(х0,f(x0)) - точка перегиба. Доказать: f'' (x)x=x0 = 0 .

Предположим, что f'' (x)x=x0 ≠ 0 . Тогда в некоторой окрестности точки х0 f′′(x) сохранит знак, а, следовательно, слева и справа от точки х0

76

выпуклость графика будет иметь одинаковое направление и точка М0(х0,f(x0)) не будет точкой перегиба. Значит предположение f'' (x)x=x0 ≠ 0

ложно, в то время как f'' (x)x=x0 = 0 - истинно.

Теорема 2.20. (достаточное условие точки перегиба).

Если функция f(x) дифференцируема в точке х0 и дважды диффернцируема в некоторой δ окрестности этой точки, и если слева и справа от точки х0 f′′(x) имеет разные знаки, то точка М0(х0,f(x0)) для графика функции f(x) является точкой перегиба.

Доказательство.

Дано: f(x) C′(x0), f(x) C′′(Uδ(x0)),

f′′(x<x0)>0 и f′′(x>x0)<0, или f′′(x<x0)<0 и f′′(x>x0)>0.

Доказать: М0(х0,f(x0)) - есть точка перегиба.

Так как функция f(x) дифференцируема в точке х0, то график функции f(x) в точке М0(х0,f(x0)) имеет касательную. Смена знака у f′′(x) при переходе через точку х0 говорит о том, что слева и справа от этой точки выпуклость графика имеет разные направления. Т.е. точка М0(х0,f(x0)) является точкой перегиба.

Теорема 2.21. (достаточное условие экстремума и перегиба, связанное с высшими производными функции).

Пусть n - некоторое целое положительное число, и пусть функция y=f(x) имеет в некоторой окрестности точки х0 производную порядка n+1, причем указанная производная непрерывна в точке х0. Пусть, далее, справедливы следующие соотношения:

f(2)(x0)= f(3)(x0)=...= f(n)(x0)=0 и f(n+1)(x0)≠0.

Тогда, если n+1 - нечетное число, то график функции y=f(x) имеет перегиб в точке М0(х0,f(x0)). Если же n+1- четное число М, кроме того

f′(x0)=0, то функция y=f(x) имеет локальные экстремум в точке х0, точнее, максимум, если f(n+1)(x0)<0, и минимум, если f(n+1)(x0)>0.

2.16. Асимптоты графика функции.

Схема исследования функции и построения ее графика

77

Из определения (2.14) следует, что если функция f(x) в точке х0 имеет вертикальную асимптоту, то она является для функции f(x) точкой разрыва второго рода.

Определение 2.15. Прямая y=kx+b называется наклонной асимптотой графика функции f(x), если f(x)=kx+b+α(x), где α(х) - б.м.ф. при х→+∞ (х→-∞).

Заметим, что частным случаем наклонных асимптот являются горизонтальные асимптоты в случае, если к=0 (у=b).

Теорема 2.22. (необходимое и достаточное условия наклонной асимптоты).

Прямая Y=kx+b является правой (левой) наклонной асимптотой графика функции f(x) тогда и только тогда, когда существуют конечные пределы

что и требовалось доказать.

Достаточность:

Доказать: f(x)=kx+b+α(x), где

78

lim α(x)= 0 .

x→+∞

Из условия теоремы имеем

lim (f(x)− kx)= b f(x)− kx = b +α(x),

x→+∞

где α(x) - б.м.ф. при х→+∞. Следовательно, f(x)=kx+b+α(x), что и требовалось доказать.

Отметим, что геометрическое свойство любой ассиммптоты заключается в том, что расстояние между точками графика функции и точками прямой (асимптотой) стремятся к нулю при удалении от начала координат. График функции как бы “сливается” с прямой, бесконечно к ней приближаясь. Отметим также, что график функции может любое количество раз пересекать асимптоту.

Ниже приведем схему исследования функции f(x) и построения ее графика с помощью дифференциального исчисления, которая включает

всебя выполнение следующих основных этапов:

1.Нахождение области определения функции, определение точек пересечения графика функции с осями координат, определение четности, нечетности, периодичности функции, нахождение точек разрыва функции.

2.Определение поведения функции на ±∞.

3.Нахождение асимптот графика функции (вертикальных, наклонных, горизонтальных).

4.Определение интервалов монотонности, точек экстремумов функции, нахождение значений функции в точках экстремумов.

5.Определение интервалов сохранения направления выпуклости графика функции, нахождение точек перегиба и значений функции в них.

Далее на основании проведенных исследований можно довольно точно представить график исследуемой функции.

79

Примеры

Пример 1. Найти f '(x) с помощью определения производной, если

а) f(x)=sin(x2), б) f(x)=ln(2x2+2).

Решение: а) Согласно определению 2.1 имеем

f ' (x) =(sinx2 )' =2 lim2x ∆x +(∆x)2 cosx2 =2xcosx2

∆x→0 2 ∆x

Ответ: (sinx2)’ = 2xcosx2

Решение: б) пользуясь определением 2.1 с учетом того, что ln(1+α) ~α при α→0, имеем

80