n |
n |
n |
n |
S − s = ∑M i ∆xi − ∑m i ∆xi = ∑(M i − m i )∆xi = ∑ωi ∆xi . |
i=1 |
i=1 |
i=1 |
i=1 |
Поскольку ωi ≥ 0 и ∆х>0, то каждое слагаемое в последней сумме неотрицательно, условие (5.10) можно переписать в виде:
i=1
Теорема 5.2. Если функция f(x) непрерывна на сегменте [a,b], то она интегрируема на этом сегменте.
Теорема 5.3. Если функция f(x) определена и ограничена на сегменте [a,b] и если для произвольного ε>0 можно указать конечное число интервалов, покрывающих все точки разрыва первого рода этой функции и имеющих общую сумму длин меньше ε, то функция f(x) интегрируема на сегменте [a,b].
Теорема 5.4. Монотонная на сегменте [a,b] функция f(x) интегрируема на этом сегменте.
Доказательство. Теорему докажем для случая монотонно неубывающей функции f(x) (xi ≥ xi-1 f(xi) ≥ f(xi-1)) в предположении, что f(b)≠f(a) (в случае f(b)=f(a) справедливость теоремы очевидна, так как удовлетворяется достаточное условие интегрируемости (см. (5.10)).
Очевидно, что монотонная функция f(x) ограничена на [a,b], так
как ее значения заключены между f(a) и f(b) (f(a) ≤ f(x) ≤ f(b)). |
|
|
|
Возьмем произвольное |
положительное число ε>0 |
и |
разобьем |
сегменты [a,b] на равные части, длины которых меньше |
|
|
|
ε |
|
|
, т.е. |
|
|
|
|
|
f |
b |
) |
− f a |
) |
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
( |
|
|
∆xi< |
|
|
|
ε |
|
. |
(5.12) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
b |
) |
− f a |
) |
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для этого разбиения оценим разность
n
S − s = ∑ωi ∆xi
i=1
сучетом того, что для неубывающей монотонной функции f(x) на сегменте [a,b] имеем
n |
|
∑ωi =ω1+ω2+...+ωn=(M1-m1)+(M2-m2)+...+(Mn-mn)=f(b)-f(a). |
(5.13) |
i=1
Нетрудно заметить, что согласно (5.12) и (5.13) имеем оценку
n
S − s = ∑ωi ∆xi <ε
i=1
Теорема доказана.
Ниже приведем некоторые основные свойства определенного интеграла без доказательств.
1. Определенный интеграл от интегрируемой функции f(x) в пределах от а до а равен нулю, т.е.
a
2. При перестановки пределов интегрирования в определенном интеграле знак интеграла меняется на обратное, т.е. если a<b и f(x) интегрируема на сегменте [a,b], то
b |
b |
|
∫f(x)dx = −∫f(x)dx . |
(5.15) |
aa
3.Если функции f(x) и ϕ(х) интегрируемы на сегменте [a,b], то функции f(x) + ϕ(х) и f(x) - ϕ(х) также интегрируемы на сегменте [a,b] и
b |
b |
b |
|
∫[f(x)± ϕ(x)]dx = ∫f(x)dx ± ∫ϕ(x)dx . |
(5.16) |
a |
a |
a |
|
4. Если функция f(x) интегрируема на сегменте [a,b], то c f(x), где с=const, также интегрируема на сегменте [a,b] и
b |
b |
|
∫c f(x)dx = c ∫f(x)dx . |
(5.17) |
a |
a |
|
5. Если функция f(x) интегрируема на сегменте [a,b], то она |
интегрируема на любом |
другом сегменте |
[c,d], содержащемся в |
сегменте [a,b]. |
|
|
6. Если функция f(x) интегрируема на сегментах [a,c] и [c,b], то она интегрируема и на сегменте [a,b], причем
152
b |
c |
b |
|
∫f(x)dx = ∫f(x)dx + ∫f(x)dx . |
(5.18) |
a |
a |
c |
|
7. Если интегрируемая на сегменте [a,b] функция f(x) неотрицательна, то определенный интеграл о этой функции в пределах от а до b также неотрицателен, т.е.
|
b |
|
f(x) ≥ 0 |
∫f(x)dx ≥ 0 . |
(5.19) |
a
8. Если функция f(x) интегрируема на сегменте [a,b] и f(x) ≥ m, где m=const, то
b |
|
|
∫f(x)dx ≥ m(b −a). |
(5.20) |
a |
|
|
9. Если функции f(x) и ϕ(х) интегрируемы на сегменте [a,b] и f(x) |
≥ ϕ(х) всюду на этом сегменте, то |
|
b |
b |
|
∫f(x)dx ≥ ∫ϕ(x)dx . |
(5.21) |
aa
10.Если функция f(x) интегрируема на сегменте [a,b], то |f(x)| также интегрируема на этом сегменте и справедливо неравенство
|
|
|
|
|
|
|
b |
b |
|
∫f(x)dx ≤ ∫ |
|
f(x) |
|
dx . |
(5.22) |
|
|
aa
11.Если функции f(x) и ϕ(х)≥0 интегрируемы на сегменте [a,b] и M=sup{f(x)}, m=inf{ϕ(x)} на этом сегменте, то справедливы неравенства
b |
b |
b |
|
m∫ϕ(x)dx ≤ ∫f(x) ϕ(x)dx ≤ M ∫ϕ(x)dx . |
(5.23) |
a |
a |
a |
|
Теперь перейдем к получению формул среднего значения определенного интеграла.
Теорема 5.5. Если функция f(x) интегрируема на сегменте [a,b] и M=sup{f(x)}, m=inf{f(x)} являются точными гранями функции f(x) на этом сегменте, то найдется такое число µ, удовлетворяющего неравенству m ≤ µ ≤ M, что
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
∫f(x)dx = µ(b −a). |
(5.24) |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство. Если в (5.23) положить ϕ(х)=1, то получим |
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
m(b-a)≤ ∫f(x)dx ≤M(b-a) |
|
или |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
m ≤ |
|
∫f(x)dx ≤ M . |
(5.25) |
|
b −a |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
b |
|
|
Полагая в (5.25) |
µ = |
∫f(x)dx , |
получим требуемое равенство |
|
b −a |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.24), которое представляет собой формулу среднего значения определенного интеграла.
Теорема 5.6. Если функции f(x) и ϕ(х) интегрируемы на сегменте
[a,b] и M=sup{f(x)}, m=inf{f(x)} и, кроме того, ϕ(х)≥0 (или ϕ(х)≤0) на всем сегменте [a,b], то найдется между m и М такое число µ, что
b |
b |
|
∫f(x)ϕ(x)dx = µ∫ϕ(x)dx . |
(5.26) |
a |
a |
|
В частности, если f(x) непрерывна на сегменте [a,b], то на этом сегменте существует такое число ξ, что
b |
b |
|
∫f(x)ϕ(x)dx = f(ξ)∫ϕ(x)dx . |
(5.27) |
a |
a |
|
(5.27) представляет собой формулу среднего значения в обобщенной форме.
5.4. Вычисление определенного интеграла по формуле НьютонаЛейбница
Определение 5.3. Пусть функция f(x) интегрируема на любом сегменте, содержащемся в интервале (а,b), и пусть с есть некоторая фиксированная точка этого интервала. Тогда для произвольного х (a,b)
функция f(x) интегрируема н сегменте [c,x]. Поэтому на интервале (a,b) определена функция
c
которая называется интегралом с переменным верхним пределом.
Теорема 5.7. Любая непрерывная на интервале (a,b) функция f(x) имеет на этом интервале первообразную. Одной из первообразых является функция (5.28).
Доказательство. Достаточно доказать, что для фиксированного х из интервала (a,b) и для ∆х>0 существует
|
lim |
F(x + ∆x)− F(x) |
= f(x) (т.е. F′(x)=f(x)). |
(5.29) |
|
∆x |
|
∆x→0 |
|
|
В силу свойства 6 определенного интеграла (см. 5.18) с учетом
(5.28) имеем
|
|
x+∆x |
x |
x |
|
F(x + ∆x)− F(x)= ∫f(t)dt − ∫f(t)dt = ∫f |
(t)dt + |
|
|
c |
c |
c |
(5.30) |
|
|
|
x+∆x |
x |
x+∆x |
|
|
|
+ ∫f(t)dt − ∫f(t)dt = ∫f(x)dt |
|
|
x |
c |
x |
|
|
|
С другой стороны из (5.27) в случае ϕ(х)=1 имеем |
|
|
|
x+∆x |
|
|
F(x + ∆x)− F(x)= f(ξ) |
∫dt = f(ξ)∆x , |
(5.31) |
x
где x<ξ<x+∆x (или ξ=х+θ∆х, 0<θ<1). (5.31) перепишем в виде
|
F(x + ∆x)− F(x) |
= f(ξ) |
(5.32) |
|
∆x |
|
|
|
и перейдем к пределу при ∆х→0 с учетом того, что функция f(x) непрерывна в точке ξ и справедливо
∆x→0 |
( |
|
) |
∆x→0 |
( |
x +θ∆x |
) |
= f |
(∆x→0( |
x +θ∆x |
)) |
= f |
( |
x |
) |
lim f |
|
ξ |
|
= lim f |
|
|
lim |
|
|
|
Имеем
|
lim |
F(x + ∆x)− F(x) |
= F' (x)= lim f(ξ)= f(x), |
(5.33) |
|
∆x |
|
∆x→0 |
∆x→0 |
|
что и требовалось доказать.
Теперь перейдем к получению формулы Ньютона-Лейбница для
b
вычисления определенного интеграла ∫f(x)dx , основываясь на теорему
a
(5.7).
Пусть функция f(x) определена и непрерывна на сегменте [a,b]. Обозначая через Ф(х) любую из первообразных этой функции на [a,b], согласно теореме (5.7) имеем
x |
|
Ф(х)= ∫f(t)dt +c , |
(5.34) |
a
где c=const.
Подставляя в (5.34) х=а и учитывая (5.14), получим
a |
|
Ф(а)= ∫f(x)dx +c = c . |
(5.35) |
a |
|
Если теперь подставим в (5.34) х=b, то получим |
b |
b |
Ф(b)= ∫f(x)dx +c = ∫f(x)dx + Ф(а) |
a |
a |
или |
|
b |
|
∫f(x)dx =Ф(b)-Ф(а), |
(5.36) |
a
что представляет собой и формулу Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла. Принято (5.36) переписать и в другом виде:
b |
|
∫f(x)dx = Ф(x)ab = Ф(b)− Ф(а). |
(5.37) |
a
Теорема 5.8. Если функции f(x) и ϕ(t) удовлетворяют следующим условиям:
1.функция f(x) определена и непрерывна на сегменте [a,b];
2.функция x=ϕ(t) определена на сегменте [α,β] и имеет непрерывную производную на этом сегменте;
3.ϕ(α)=a, ϕ(β)=b;
4.сегмент [a,b] является множеством значений функции ϕ(t), то справедлива формула
b |
β |
|
∫f(x)dx = ∫f[ϕ(t)]ϕ' (t)dt , |
(5.38) |
a |
α |
|
которая называется формулой замены переменной под знаком определенного интеграла.
В заключение этого раздела приведем формулу интегрирования по частям для определенного интеграла
b |
|
b |
|
∫U(x)dV(x)= U(x) V(x) |
|
ab − ∫V(x)dU(x). |
(5.39) |
|
a |
|
a |
|
5.5.Вычисление длин дуг плоских кривых
Вэтом пункте перейдем к рассмотрению вопроса о применении определенного интеграла для вычисления длины дуги плоской кривой.
Определение 5.4. Множество {M} всех точек М, координаты х и у которых определяются уравнениями x=ϕ(t), y=ψ(t), будем называть простой плоской кривой L, если различным значениям параметра t из сегмента [α,β] отвечают различные точки этого множества (кривая L не имеет точек самопересечения и участков самоналегания). При этом, если длина l кривой L конечное число, то кривая L называется спрямляемой.
1. Пусть плоская спрямляемая кривая L задана параметрическии уравнениями x=ϕ(t), y=ψ(t), t [α,β] и ϕ′(t), ψ′(t) непрерывные функции. Можно доказать, что в этом случае длину l кривой L можно выразить по формуле
l = ∫β (x|t )2 +(y|t )2 dt = ∫β [ϕ' (t)]2 +[ψ' (t)]2 dt |
(5.40) |
αα
2.Пусть плоская спрямляемая кривая L задана уравнением y=f(x) на сегменте x [a,b] и пусть f′(x) непрерывна на этом сегменте (рис. 5.3).
y
y=f(x)
Рис. 5.3.
Тогда, как нетрудно заметить, можно считать, что кривая L задана параметрическими уравнениями вида
x(t)=t, y(t)=f(t), |
(5.41) |
причем
x′(t)=1, y′(t)=f′(t)=f′(x), t [a,b], |
(5.42) |
Подставляя (5.41) и (5.42) в (5.40), получим формулу для вычисления длины l кривой L в виде
b |
b |
|
l = ∫ |
1 +(y')2 dx = ∫ 1 +(f' (x))2 dx . |
(5.43) |
a |
a |
|
3. Пусть плоская спрямляемая кривая L задана в полярной системе координат полярным уравнением
ρ=ρ(θ), θ [θ1, θ2]
и пусть функция ρ′(θ) непрерывна на сегменте [θ1, θ2] (см. рис. 5.4).
y
ρ=ρ(θ)
θ2
θ1
Рис. 5.4.
Так как декартовые координаты x,y связаны с полярными координатами θ, ρ соотношениями:
x=ρ(θ)cosθ, y=ρ(θ)sinθ, (5.44)
то можно считать, что кривая L фактически задана следующими параметрическими уравнениями
x(θ)=ϕ(θ)=ρ(θ)cosθ, y(θ)=ψ(θ)=ρ(θ)sinθ. (5.55)
Подставляя (5.55) в (5.40) с учетом того, что
x′(θ)=ϕ′(θ)=ρ′(θ)cosθ-ρ(θ)sinθ, y′(θ)=ψ′(θ)=ρ′(θ)sinθ-ρ(θ)cosθ. (5.56)
после несложные преобразований получим формулу для вычисления длины в кривой l в полярной системе координат в виде
θ |
(5.57) |
l = ∫2 [ρ © (θ )]2 + [ρ (θ )]2 d θ |
θ1
5.6.Вычисление площадей плоских фигур
Ниже покажем, как с помощью определенного интеграла можно вычислить площади плоских фигур (об этом уже было упомянуто в пункте 5.1).
Определение 5.5. Часть плоскости, ограниченной плоской спрямляемой замкнутой кривой L с нулевой площадью называется квадрируемой плоской фигурой, т.е. плоской фигурой имеющей конечную площадь.
Рассмотрим некоторые конкретные случаи квадрируемых фигур. 1. Квадрируемая фигура (криволинейная трапеция) ограничена
графиком непрерывной и неотрицательной функции y=y(x), заданная на сегменте [a,b], прямыми x=a и x=b и отрезком оси Ох между точками а и b (рис. 5.5)
y
y(x)
Рис. 5.5.
Тогда площадь этой криволинейной трапеции можно вычислить с помощью определенного интеграла формулой (см. также пункт 5.1)
a
2. Квадрируемая фигура ограничена графиками непрерывных и неотрицательных функций y1=y1(x) и y2=y2(x) (y2(x)≥y1(x)) и прямыми x=a и x=b (рис. 5.6).
y
y2 (x)
y1 (x)
Рис. 5.6.