matan

y→0

Таким образом, при стремлении M→M0 по разным путям (последовательности точек) получаем разные ответы, как в примере 1. Это означает, что рассматриваемый предел не существует.

Ниже перейдем к рассмотрению повторных пределов для функции двух независимых переменных f(x,y).

Если при любом фиксированном у для функции f(x,y) существует предел при х→а, то этот предел, вообще говоря, будет зависеть от фиксированного у, т.е.

lim f(x, y)= ϕ(y).

x→a

Затем можно поставить вопрос о пределе функции ϕ(y) при у→b

Последнее и называется одним из повторных пределов функции f(x,y).

Другой повторный предел имеет вид

Вообще говоря, повторные пределы (3.1) и (3.2) равны при удовлетворении определенных условий.

91

Определение 3.10. Если существует предел отношения ∆xk U в точке М0 к соответствующему приращению ∆xk , то этот предел

называется частной производной функции U=f(x1, x2,..., xm) в точке М0 по аргументу xk и обозначается символами

Заметим, что вычисление частной производной по одной из переменных хk производится по известным правилам вычисления производных функций одной независимой переменной в предположении, что при этом остальные переменные считаются постоянными.

Пример. Найти частные производные первого порядка функции двух независимых переменных

U=arctg xy .

Решение.

полученная функция может иметь производные по каждой из этих переменных. Если существуют эти производные, то они называются частными производными функции U=f(x1, x2,..., xk,... ,xm) второго порядка, т.е.

∂∂U =ϕ(x1, x2,..., xk,... ,xm), xk

k=1,2,..., m; l=1,2,... ,m.

94

Аналогично вводятся и понятия частных производных третьего, четвертого и т.д. порядков. Например, для функции трех независимых переменных U=f(x,y,z) они обозначаются символически следующим образом

Пример. Найти все частные производные функции двух независимых переменных U=x2y2 до третьего порядка включительно.

Решение.

Теорема 3.2. (достаточный признак равенства смешанных производных функции двух независимых переменных).

Пусть функция двух независимых переменных U=f(x,y) определена в открытой области D и в этой области существуют частные

Доказательство. Составим выражение

H = f(x0 + h, y0 + k)− f(x0 + h, y0 )− f(x0 , y0 + k)+ f(x0 , y0 ), (3.13) hk

где h>0, k>0 для определенности и они настолько малы, что в области D содержится весь прямоугольник [x0, x0+h; y0, y0+k].

95

Если теперь ввести функцию

которая в силу условий теоремы имеет на сегменте [x0, x0+h] производную

ϕ' (x)= fx ' (x, y0 + k)− fx ' (x, y0 ) k

и следовательно является переменной функцией, то выражение (3.13) можно переписать в виде

Теперь пользуясь тем, что для функции ϕ(x) на сегменте [x0,x0+h] выполняются все условия теоремы Лагранжа о конечных приращениях, выражение (3.15) можем преобразовать к виду

где 0<θ<1.

Если опять применить формулу конечных приращений Лагранжа (можно, так как по условию теоремы существует fxy| | ) на сегменте

[y0,y0+k], то (3.16) примет вид

где 0<θ1<k.

Далее введя функцию

ψ(y)= f(x0 + h, y)− f(x0 , y), h

аналогичным рассуждениям получим

где 0<θ2<1, 0<θ3<1.

Сравнивая (3.17) и (3.18), имеем

96

Если функция f(x1, x2, ..., xm) имеет все частные производные ∂U

∂xi

(i=1,2,...,m) первого порядка в некоторой окрестности точки M0(x10,x20,..., xm0) и все они непрерывны в точке М0, то указанная функция дифференцируема в точке М0.

Определение 3.11. Главная линейная часть A1∆x1+A2∆x2+...+Am∆xm приращения ∆U дифференцируемой в точке М0 функции U=f(x1, x2, ..., xm) называется дифференциалом функции и обозначается так:

dU=A1∆x1+A2∆x2+...+Am∆xm (2.23)

Заметим, что если все Ai=0 (i=1,2,...,m) в (3.23), то dU=0. Если теперь договориться под dxi понимать ∆xi (i=1,2,...,m) и учитывать

(3.22), то (3.23) принимает вид:

До сих пор мы рассматривали функцию U=f(x1, x2, ..., xm) m независимых переменных. Но встречаются случаи, когда эти m переменные в свою очередь зависят, например, от k независимых переменных t1,t2,...,tk формулами xi=ϕi(t1, t2, ..., tk) (i=1, 2, ..., m). Тогда мы имеем сложную функцию

U=f[ϕ1(t1, t2, ..., tk), ϕ2(t1, t2, ..., tk), ..., ϕm(t1, t2, ..., tk)].

Отметим, что вычисление частных производных функции U по независимым переменным tl(l=1,2,...,k), основывается на следующей теореме.

xi0=ϕi(t10, t20, ..., tk0) (i=1,2,...m). Тогда сложная функция U=f(x1,x2, ..., xm)

дифференцируема в точке N0 и ее частные производные по переменным tl (l=1, 2, ..., k) определяются формулами

98

точке М0, а все частные производные ∂xi (l=1, 2, ..., k) берутся в точке

∂t l

N0.

Можно доказать что дифференциал первого порядка сложной

функции U=f[ϕ1(t1, t2, ..., tk), ϕ2(t1, t2, ..., tk), ..., ϕm(t1, t2, ..., tk)] также вычисляется по формуле (3.24), где под dx1, dx2, ..., dxm подразумеваются

выражения

(i=1, 2, ..., m).

Внешнее совпадение форм первого дифференциала в случаях функции U от m независимых переменных и сложной функции U называется инвариантностью формы первого дифференциала.

Пример. Пусть U=x2+y2, а x=U2V, y=V2U. Найти dU.

Решение. Согласно формулам (3.24) и (3.26), имеем

и получим

dU=2U2V(U2dV+2UVdU)+2V2U(2UVdV+V2dU)= =2VU2(U2+2V2)dV+2V2U(2U2+V2)dU.

3.6. Производная функции нескольких переменных по направлению. Градиент. Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Рассмотрим функцию трех переменных U=U(x,y,z) в некоторой окрестности точки M0(x0,y0,z0). Через эту точку проведем ось l,

обозначим через lвеличину направленного отрезка M0M (см. рис. 3.1).

99