matan
.pdf
Решение: Учитывая, что
∂z |
|
= 2x |
|
= 2, |
∂z |
= 2 y |
|
= 4, |
|
|
|
||||||
|
|
|
||||||
∂x |
|
∂y |
||||||
|
M |
|
M |
M |
|
M |
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
из (3.33) и (3.34) для касательной плоскости и нормали к заданной поверхности в точке М(1,2,5) получим следующие уравнения
|
z = 2x + 4 y −5, |
|
|
z - 5 |
= |
x −1 |
= |
y − 2 |
. |
||||
|
|
-1 |
|
4 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||
Ответ: |
z = 2x + 4 y −5, |
z - 5 |
= |
x −1 |
= |
y − 2 |
. |
|
|
||||
-1 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|||
Пример 3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
z=x2+y2-xy+x+y
в области x≤0, y≤0, x+y≥-3.
Решение: Сначала исследуем заданную функцию на обычный экстремум внутри заданной области (в треугольнике (рис. 3.4)). Согласно (3.43) имеем
|
∂ z |
= 2 |
x |
− |
y + 1 |
= 0 , |
||
|
|
|||||||
∂ x |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
∂ z |
|
|
|
|
|
||
|
= 2 y − x + 1 |
= 0 . |
||||||
|
||||||||
|
∂ y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решая эту систему уравнений, получим xэ = -1, yэ = -1. Итак, имеем единственную точку М(-1,-1) возможного экстремума внутри треугольника. Теперь пользуемся достаточным условием (3.43).
Учитывая, что
∂2 z |
= 2, |
∂2 z |
= 2, |
∂2 z |
= |
∂2 z |
= −1, |
|
∂x2 |
∂y2 |
∂x∂y |
∂x∂y |
|||||
M |
M |
M |
M |
|||||
|
|
|
|
111
Имеем −21 −21 = 3 0 .
Последнее означает, что в точке М(-1,-1) есть экстремум, причем,
так как |
∂2 z |
= 2 0 , то эта точка есть точка минимума. |
|
|
∂x2 |
M |
|
|
|
|
|
Очевидно, что |
|
||
|
|
zmin = z(-1,-1) = -1. |
(3.53) |
Далее исследуем заданную функцию на условный экстремум на границах треугольника. Так как функция Лагранжа ψ на прямой x+y=- 3 принимает вид
ψ =x2 + y2 –xy + x + y + λ (x + y + 3), |
(3.54) |
то согласно (3.48) имеем
∂ψ∂x∂ψ∂y
x +
=2x − y +1 + λ = 0,
=2y − x +1 + λ = 0,
y = −3.
Откудаλ = |
1 |
, |
x = − |
3 |
, |
|
|
y = − |
3 |
.Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
ψ = x2 + y2 − xy + x + y + |
1 |
x + |
1 |
y + |
3 |
. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||
Проводя |
исследование |
полученной |
функции ψ на обычный |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
экстремум в точке |
− |
|
|
,− |
|
, получим, что на прямой x + y = -3 исходная |
|||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
функция имеет минимум |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
zmin = |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
3 |
. |
(3.55) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= z |
− |
|
,− |
|
|
|
= − |
|
|
||||||||
|
|
|
|
x + y = −3 |
2 |
2 |
|
4 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
На прямой x = 0 имеем z = y2+y, и задача сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значений функции одного аргумента в области −3 ≤ y ≤ 0 . Исследование известным методом показывает, что
112
zmin = z(0,− |
1 |
) = − |
1 |
, |
z(0,0) = 0, |
z(0,-3) = 6. |
(3.56) |
|||||
2 |
4 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Аналогично, при y = 0 и -3 ≤x ≤0 имеем |
|
|
||||||||||
zmin = z(− |
1 |
,0) |
= − |
1 |
, |
|
|
z(0,0) = 0, |
z(-3,0) = 6. |
(3.57) |
||
|
|
|
|
|||||||||
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
||||
Сопоставляя все полученные значения функции (3.53), (3.55), (3.56) и (3.57), заключаем, что zнаиб = 6 в точках (0,-3) и (-3,0), zнаим = −1 в
стационарной точке М(-1,-1).
113
Тест
1. Найти предел функции двух переменных
lim sin(x3 + y3 ).
x→0 y→0
а) 0; б) 1; в) -1; г) 2.
2. Пусть U=x3y-y3x. Найти:
∂U |
+ |
∂U |
|
|
|
|
|
||||
∂x |
|
∂y |
|
|
. |
∂U |
|
∂U |
|
|
|
|
|
|
|||
∂x |
|
∂y |
|
x=1 |
|
|
|
|
|
y=2 |
|
а) - 1522 ; б) - 1322 ; в) 121 ; г) 223 .
3. Пусть U(x,y)=x2y-y2x и x=UcosV, y=UsinV. Найти:
∂U .
∂V U =1 V=0
а) 0; б) 12 ; в) 1; г) 2.
114
4. Найти полный дифференциал первого порядка функции
U=arctg(xy)
а) |
xdy + ydx |
; |
|||||
|
1 + x2y2 |
||||||
|
|
|
|||||
б) |
|
dx |
|
; |
|
|
|
|
x2y2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
в) |
|
dy |
|
|
; |
|
|
1 + x2y2 |
|
||||||
|
|
|
|||||
г) |
dx +dy |
. |
|
||||
|
|
x2y2 |
|
|
|||
5. Найти полный деференциал третьего порядка функции
U=x2y.
а) 6dx2dy2; б) dx2dy2; в) 6dx2dy;
г) 6dy.
6. Найти величину градиента функции U=x2+y2+z2 в точке
(2;-2;-;1).
а) 5; б) 0; в) 4; г) 6.
7. Найти уравнение касательной к поверхности U=sin x cos y в
точке M π; π; 1 .
4 4 2
а) x-y-2z+1=0; б) x-y-z+1=0; в) x-y-z=0;
г) x+1=0.
115
8. Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (0;0) до членов третьего порядка включительно функцию U(x,y)=exsin y.
а) y + xy + 3x2y − y3 ; 6
б) xy + 3x2y − y3 ; 6
в) 3x2y − y3 ;
6
г) y+xy.
9. Найти максимум функции:
U = 12 xy +(47 − x − y) x3 + 4y .
а) 280; б) 282; в) 200; г) 240.
10. Найти наименьшее значение функции U=x2+y2 в круге:
(x − 
2)2 +(y − 
2)2 ≤ 9 .
а) 1; б) 3; в) 4; г) 0.
116
Раздел IV. Неопределенный интеграл
4.1. Определение неопределенного интеграла и его основные свойства
Определение 4.1. Функция F(x) называется первообразной функцией для функции f(x) на интервале (а;b), если в любой точке х интервала (а;b) функция F(x) дифференцируема и имеет производную
F'(x)=f(x).
Например, функция F(x)=sin x является первообразной для функции f(x)=cos x на интервале (−∞;+∞), т.к. в любой точке х
бесконечной прямой (sin x) '=cos x.
Заметим, что если функция F(x) является одной из первообразных функций для функции f(x) на интервале (а;b), т.е. F’(x)=f(x), то любая другая первообразная Ф(х) для функции f(x) на интервале (а;b) имеет вид Ф(х)=F(x)+C, где С- произвольная постоянная. Последнее утверждение следует из того, что С'=0 и Ф'(х)=F'(x)+C'=F'(x)=f(x).
Определение 4.2. Совокупность всех первообразных функций для данной функции f(x) на интервале (а;b) называется неопределенным интегралом от функции f(x) на этом интервале и обозначается символом
∫f(x)dx , где ∫ -знак неопределенного интеграла, выражение f(x)dx
называется подынтегральным выражением, а f(x) называется подынтегральной функцией.
Итак, если функция F(x) является одной из первообразных функций для функции f(x) на интервале (a;b), то согласно определению 4.2. имеем
∫f(x)dx = F(x) + C, (С=const). |
(4.1) |
Отметим также, что математическое действие нахождения неопределенного интеграла от функции f(x) называется интегрированием.
Ниже приведем основные свойства неопределенного интеграла с доказательствами.
1. d(∫f(x)dx)=f(x)dx. (4.2)
ДоказательствоПусть ∫f(x)dx = F(x) + C . Тогда
d(∫f(x)dx)=d(F(x)+C)=dF(x)+dC=dF(x)=F’(x)dx=f(x)dx.
2.∫dF(x) = F(x) + C . (4.3)
ДоказательствоПусть dF(x)=F’(x)dx=f(x)dx. Тогда имеем
117
∫dF(x) = ∫f(x)dx = F(x) + C.
3.Неопределенный интеграл от суммы или разности функций равен сумме или разности неопределенных интегралов от этих функций.
∫[ |
] |
∫ |
f(x)dx ± |
∫ |
g(x)dx. |
(4.4) |
|
f(x) ± g(x) dx = |
|
|
ДоказательствоПредположим, что функции F(x) и G(x) являются
первообразными |
функциями |
для функций f(x) |
и g(x), т.е. F’(x)=f(x) |
|
(∫f(x)dx = F(x)) |
и |
G’(x)=g(x) |
(∫g(x)dx = G(x)). |
Тогда очевидно, что |
функции F(x)±G(x) являются первообразными для функций f(x)±g(x),
так как (F(x)±G(x))’=F’(x)±G’(x)=f(x)±g(x). А это по определению неопределенного интеграла означает
∫[f(x) ± g(x)]dx = F(x) ± G(x) = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx,
что и требовалось доказать.
4. Постоянный множитель можно вынести из под знака
неопределенного интеграла |
|
∫a f (x)dx = a ∫ f (x)dx, a=const. |
(4.5) |
Доказательство. Пусть функция F(x) есть первообразная для функции f(x). Тогда функция a F(x) есть первообразная для функции a f(x), так как (a F(x))’=a F’(x)=a f(x). Откуда и следует (4.5).
4.2. Основные правила интегрирования
Правила интегрирования от элементарных функций можно получить из правил их дифференцирования( см. раздел 1.2.) с использованием определения 4.2 неопределенного интеграла.
Например, известно, что
' |
= |
1 |
|
|
π |
|
(tg x) |
|
|
x ≠ |
|
+ πn, n |
|
cos2 |
|
2 |
||||
|
|
x |
|
|||
= 0,±1,±2,K , (ex) '=ex, (cos x) '=-sin x.
Тогда, согласно определению 4.2 имеем
∫cosdx2 x = tgx + C, x ≠ π2 + πn, n = 0,±1,±2,K
∫exdx = ex + C, ∫sin xdx = −cos x + C , |
(4.6) |
что дают нам правила интегрирования от функций сos12 x , ex, sin x.
Отметим, что полученные правила интегрирования (4.6) инвариантны относительно аргумента подынтегральных функций, т.е. имеет место
118
dϕ(x)
∫cos2 ϕ(x) ∫eϕ(x)dϕ(x)
|
π |
|
|
= tgϕ(x) +C, ϕ(x) ≠ |
2 |
+πn, n = 0,±1,±2,K |
|
|
|
|
|
= eϕ(x) + C, ∫sin ϕ(x)dϕ(x) = −cos ϕ(x) + C |
(4.7) |
||
Аналогично можно получить правила интегрирования от остальных элементарных функций. Ниже приведем эти правила с учетом свойства инвариантности.
∫dϕ(x) =ϕ(x) +C, ∫ϕn (x)dϕ(x) = ϕn+1 (x) +C,(n ≠ −1)
n +1
|
|
|
∫ |
dϕ(x) |
= ln |
|
ϕ(x) |
|
+ C,(ϕ(x) ≠ 0 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
ϕ(x) |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
∫a ϕ(x)dϕ(x) = |
a ϕ(x) |
+ C,(a ≠1,a > 0) |
|
|||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
ln a |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
∫cos ϕ(x)dϕ(x) = sin ϕ(x) + C, |
|
||||||||||
∫ |
dϕ(x) |
= −ctgϕ(x) + C,(ϕ(x) ≠ πn, n = 0,±1,±2,...) |
|||||||||||||
sin 2 ϕ(x) |
|||||||||||||||
|
|
|
∫ |
|
|
dϕ(x) |
|
|
|
arcsin ϕ(x) + C |
, |
||||
|
|
|
|
|
1 − ϕ2 (x) |
= −ar cos ϕ(x) + C |
|||||||||
|
|
|
∫ |
|
|
dϕ(x) |
|
|
|
arctgϕ(x) + C |
, |
||||
|
|
|
|
|
= |
||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||
|
|
|
|
1 + ϕ (x) |
|
|
|
−arcctgϕ(x) + C |
|
||||||
(4.8)
(4.9)
(4.10)
(4.11)
∫shϕ(x)dϕ(x) = chϕ(x) + C, ∫chϕ(x)dϕ(x) = shϕ(x) = shϕ(x) + C, |
(4.12) |
|||||||||
∫ |
dϕ(x) |
= thϕ(x) + C, ∫ |
dϕ(x) |
= −cthϕ(x) + C |
( ϕ(x) |
≠ 0) |
||||
ch |
2 |
ϕ(x) |
sh |
2 |
ϕ(x) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
Заметим, что не все интегралы от элементарных функций вычисляются в конечном виде в элементарных функциях. К таким интегралам относятся, например, интегралы:
∫e−ϕ2 (x)dϕ(x), ∫ |
dϕ(x) |
(ϕ(x) > 0), ∫cos(ϕ2 (x))dϕ(x), |
|
||||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
ln ϕ(x) |
|
|
|
|
|
|||
∫sin(ϕ2 (x))dϕ(x), ∫ |
eϕ(x) |
dϕ(x)(ϕ(x) |
≠ 0),(413.) |
(4.13) |
|||||||
ϕ(x) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
∫ |
sin ϕ(x) |
dϕ(x)(ϕ(x) ≠ 0), |
∫ |
cosϕ(x) |
(ϕ(x) ≠ 0). |
|
|||||
|
ϕ(x) |
|
|||||||||
|
ϕ(x) |
|
|
|
|
||||||
Отметим также, что интегралы (4.13) можно вычислить приближенными или численными методами.
119
4.3. Интегрирование заменой переменной
Заметим, что с помощью основных правил интегрирования, приведенных в пункте 4.2, удается выполнить интегрирование ограниченного количества функций. В большинстве случаев нужно пользоваться заменой переменной, что является одним из основных методов интегрирования. Право пользования этим методом дает следующая теорема.
Теорема 4.1. Пусть функция x=ϕ(t) определена и дифференцируема на множестве {t} и множестве {x} есть множество всех значений этой функции. Пусть далее для функции f(x) на множестве {x} существует первообразная функция F(x), т.е.
∫f(x)dx = F(x) + C (или dF(x)=F’(x)dx=f(x)dx) |
(4.14) |
Тогда на множестве {t} для функции f[ϕ(t)]ϕ‘(t) существует первообразная функция, равная F[ϕ(t)], т.е.
∫ |
[ |
] |
[ |
ϕ(t) |
] |
+ C |
(C=const). |
(4.15) |
|
f |
ϕ(t) ϕ'(t)dt = F |
|
|||||
Доказательство. Для доказательства воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции
d |
F[ϕ(t)]= |
dF[ϕ(t)] |
|
dϕ(t) |
dt |
dϕ(t) |
dt |
c учетом того, что
dF[ϕ(t)] = dF(x) = f(x). dϕ(t) dx
Итак имеем
d |
F[ϕ(t)]= |
dF[ϕ(t)] |
|
dϕ(t) |
dt |
dϕ(t) |
dt |
или
dF[ϕ(t)]= |
dF[ϕ(t)] |
dϕ(t) = |
dF(x) |
dx = F'(x)dx = f(x)dx, |
dϕ(t) |
dx |
120