matan

Каждое отдельное число xn называется элементом или членом числовой последовательности.

Числовая последовательность обозначается символами {xn}, {yn},

{zn}, {αn}, {βn}, {γn} и т.д.

Отметим, что если числовые последовательности {xn} и {yn}, то

сумму, разность, произведение и частное числовых последовательностей

для всех n члены последовательности yn≠0.

Ниже приведем примеры числовых последовательностей:

1, 5, 9, 13, ..., (4n-3), ...;

Последние можно записать и в виде формул: xn=4n-3, xn=1 −(−1)n ,

2

xn= (−1)n +1 . n

Числовая последовательность является бесконечным множеством, особенность которого в упорядоченности его элементов. Поэтому для числовых последовательностей применимы такие понятия, как ограниченные сверху (снизу), ограниченные и неограниченные. В этом случае речь идет о последовательности, как о множестве значений ее элементов. Как правило, исследователей интересуют не конкретные значения отдельных элементов числовой последовательности, а тенденции их изменений при неограниченном возрастании номеров. Это неограниченное возрастание номеров записывается символом n→∞.

1.5. Бесконечно большие и бесконечно малые числовые последовательности

Определение 1.7. Числовая последовательность называется бесконечно большой (ББП), если для любого положительного вещественного числа А (сколь бы большим оно ни было) существует номер n0 зависящий от А, такой, что для всех элементов с номерами, удовлетворяющими неравенству n≥n0 справедливо |xn|>A.

11

Рассмотрим еще один пример числовой последовательности

xn= n 2 +2 и покажем, что она является бесконечно большой. Для это нам

2n −1

нужно доказать, что

( A>0)(A R)( n0(A) N) : (n ≥ n0) ( n2n2 +−12 >A).

Решим последнее неравенство, замечая, что знак модуля можно

опустить ( n 2 +2 >0 для n N) и пользуясь свойством транзитивности

2n −1

неравенств, имеем

Отсюда

n ≥ 2A n2n2 +−12 > A.

Таким образом, начиная с номера n0=2A, т.е. при n ≥ n0(A)=2A, все

где А - любое положительное сколь угодно большое вещественное число.

Определение 1.8. Числовая последовательность {αn} называется бесконечно малой (б.м.п.), если для любого положительного вещественного числа ε (сколь бы малым оно ни было) существует номер n0, зависящий от ε, такой, что для всех элементов с номерами, удовлетворяющими неравенству n ≥ n0(ε), справедливо |αn|<ε.

В символической форме определение 1.8. имеет вид:

Геометрический смысл этого определения заключается в том, что начиная с некоторого номера n0(ε) все члены бесконечно малой последовательности оказываются в ε окрестности точки 0, как бы мало ни было положительное число ε (рис. 1.7.)

-ε 0 ε

Рис. 1.7.

13

последовательность является бесконечно малой последовательностью.

Ниже приведем основные теоремы о бесконечно малых и бесконечно больших последовательностях, причем некоторые из них будем доказывать. Отметим также, что здесь и далее вместо обозначения, например, ( ε>0)(ε R) будем пользоваться обозначением

( ε > 0).

R

Теорема 1.2. Сумма двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Дано: {αn} - б.м.п.; {βn} - б.м.п.

Доказать: {αn±βn} - б.м.п. (3).

Пусть ε>0 - любое вещественное число. Из (1.7.), по определению, следует:

n≥n0(ε) |αn ± βn| ≤ |αn| + |βn|< 2ε + 2ε =ε.

14

Мы доказали, что

т.е. {αn±βn} - б.м.п.

Следствие 1.1. Сумма конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Дано: {αn} - б.м.п. Доказать: {αn} - ограничена.

Пусть ε>0 некоторое вещественное число членов бесконечно малой последовательности, начиная с номера n0(ε), т.е. при n≥ n0(ε), справедливо |αn|<ε. Так как n0(ε) - конечное число, то из конечного числа

последовательность.

Теорема 1.3. Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая последовательность.

Дано: {αn} - б.м.п.

{xn} - ограниченная последовательность (1.8.)

15

Теорема 1.4. Если все элементы бесконечно малой последовательности равны одному и тому же числу, то это число есть ноль.

Теорема 1.5. а) Если последовательность {xn} бесконечно большая последовательность, и xn ≠ 0 то, начиная с некоторого номера n,

определена последовательность 1 , которая является бесконечно

xn

малой последовательностью.

Теорема 1.5. б) Если последовательность {αn} бесконечно малая

последовательность, и α 0, то последовательность 1 - бесконечно

n ≠ αn

большая последовательность.

1.6. Сходящиеся числовые последовательности. Предел числовой последовательности

Определение 1.9. Последовательность называется сходящийся к а, если для любого вещественного числа ε>0 (сколь угодно малого), существует номер n0(ε), начиная с которого для всех членов последовательности справедливо: |xn-a|<ε. Это означает, что предел

Если в последнем неравенстве xn-a=αn, то записанное высказывание отражает тот факт, что {xn-a} есть б.м.п. и потому справедливо второе определение, сходящейся к а последовательности, которое запишем только в символической форме.

Определение 1.10.

Ниже сформулируем теоремы о необходимых и достаточных условиях последовательностей в символической форме.

Теорема 1.6.

(nlim→∞ xn = a) (xn=a+αn) ({αn} - б.м.п.) (1.11)

16

Теорема 1.9. Сходящаяся последовательность является ограниченной.

Заметим, что теорема 1.9 легко доказывается, если пользоваться теоремами о необходимом условии сходимости числовой последовательности и об ограниченности б.м.п.

Отметим, что обратное утверждение не имеет места. Ограниченая последовательность необязательно является сходящейся. Хорошим примером этому может служить последовательность xn=1+(1-)n, которая ограничена, но не сходится.

Теорема 1.10. Если числовые последовательности {xn} и {yn} сходятся к а и b, то их сумма (разность), произведение и частное (при

условии b≠0) сходятся соответственно к a+b, a-b,ab, ab .

Приведем доказательство для суммы(разности).

Дано: lim xn =а и lim yn =b. (1.14)

n→∞ n→∞

Доказать: lim(xn ± yn )= a ± b .

n→∞

Из (1.14), опираясь на необходимом условии сходимости последовательности, имеем:

lim xn =a (xn = a+αn) (αn - б.м.п.),

n→∞

lim yn =b (yn = b+βn) (βn - б.м.п.).

n→∞

Отсюда

xn±yn = a ± b + (αn ± βn), где {αn ± βn} является б.м.п. Тогда, согласно достаточному условию сходимости последовательности (теорема 1.6),

получим, что lim(xn ± yn )= a ± b .

n→∞

Аналогично можно доказать и остальные части теоремы.

1.8. Монотонные числовые последовательности

Определение 1.11. Числовая последовательность {xn} называется монотонной (неубывающей или невозрастающей), если для любого n N справедливо xn+1≤xn или xn+1≥xn..

Определение 1.12. Числовая последовательность {xn} называется строго монотонной (убывающей или возрастающей), если для любого n N справедливо xn+1<xn или xn+1>xn..

18

Теорема 1.11. (необходимое и достаточное условие сходимости монотонной числовой последовательности).

Неубывающая (невозрастающая) числовая последовательность {xn} сходится тогда и только тогда, когда последовательность {xn} ограничена сверху (снизу).

Необходимость:

Дано: {xn} - неубывающая (невозрастающая).

lim xn =а (1.15)

n→∞

Доказать: {xn} - ограничена сверху (снизу).

Доказательство необходимого условия следует из теоремы 1.9 о том, что сходящаяся последовательность является ограниченной.

Достаточность (для случая неубывающей последовательности). Дано: {xn} - неубывающая (1.16)

{xn} - ограничена сверху (1.17)

Доказать: lim xn = a .

n→∞

Рассматриваемая последовательность является ограниченной сверху. Значит она имеет точную верхнюю грань. Пусть sup{xn}=а. Докажем, что число а и есть предел этой последовательности.

По определению точной верхней грани имеем:

Пусть n0 - номер этого элемента xn*. Из условия (1.16) следует, что при n>n0 x ≥ xn*, а из условия (1.17) следует, что xn ≤ a. То есть имеем, что при n>n0 a-ε< xn* ≤ xn ≤ a или |xn-a|<ε. Другими словами, все члены последовательности с номерами, большими n0 могут быть только “ближе” к точке а, оставаясь “слева” от нее или совпадать с ней.

Итак получаем, что

Аналогично доказывается теорема для случая невозрастающей последовательности.

19

1.9. Число е

Рассмотрим применение теоремы 1.11 для обоснования результата, который имеет в математике фундаментальное значение. Докажем, что

называется числом е≈2,7). Доказательство этого утверждения сводится к доказательству двух фактов:

формуле бинома Ньютона. Имеем:

Заметим, что последняя сумма содержит n положительных слагаемых. Запишем следующий n+1 член рассматриваемой последовательности:

Сумма (1.19) содержит n+1 положительный член. Каждый член в сумме (1.19), начиная со второго, больше соответствующего члена в

сумме (1.18), так как 1- nk <1- n k+1 для любого k [1;n]. Отсюда следует,

20