matan

Эту теорему можно доказать, пользуясь определением предела функции по Гейне. Результат (1.38), который известен как второй замечательный предел, можно записать и в форме

1

lim(1 + x)x = e . (1.39)

x→0

Ниже приведем еще некоторые известные пределы, которые получаются из первого и второго замечательных пределов.

Для получения этого результата сделаем замену ex -1= t, причем заметим, что при x→0 t→0.

Отметим, что доказательства (1.42) и (1.43) проводятся аналогично

(1.40) и (1.41).

Действительно, пользуясь формулой 1-cosx=2sin2 x2 имеем

В заключении отметим, что все полученные выше формулы инвариантны относительно аргумента. То есть, эти формулы

31

1.17. Сравнение бесконечно малых функций

Пусть при x → a (x → ∞) две функции α(х) и β(х) являются бесконечно малыми функциями. Примерами таких функций могут

низшего порядка по отношению к β(х) (или β(х) называется б.м.ф. высшего порядка по отношению к α(х)).

Легко видеть, что определения 1.26 и 1.27 относятся к одному и тому же случаю, когда сравниваются б.м.ф. разного порядка.

Пример 1. Сравнить б.м.ф. α(х)=sinx, β(x)=x при x→0. Имеем

32

Пример 2. Сравнить б.м.ф. α(x)=x2 и β(x)=sin x при x→0. Имеем

Следовательно: α(x)=x2- б.м.ф. высшего порядка по отношению к

β(x)=sinx при x→0, т.е. x2=0 (sin x) при x→0.

Найдем, какого порядка б.м.ф. α(x)=x2 по сравнению с б.м.ф. β(x)=sin x при x→0. Обозначая порядок через l, по определению 1.28

Следовательно: α(x)= x2 - б.м.ф. 2-ого порядка по отношению к б.м.ф. β(x)= sin x при x→0.

1.18. Непрерывность функции в точке

Пусть f(x) определена в точке x0 и в некоторой ее окрестности. Определение 1.29. Функция f(x) называется непрерывной в точке

Определение 1.30. Функция f(x) называется непрерывной в точке

x0, если любой последовательности { xn} → x0 соответствует

{f (xn )}→ f (x0 ). .

В силу эквивалентности определений предела функции “по Коши” и “по Гейне” определения 1.29 и 1.30 также эквивалентны.

Определение 1.31. Функция f(x) называется непрерывной справа

(слева) в точке x0, если lim f(x)= f(x0 )

x→x0 +0 (x→x0 −0)

Определение 1.32. Если функция f(x) непрерывна в точке x0 справа и слева, то она непрерывна в точке x0.

Имея ввиду определение 1.32 условие непрерывности f(x) в точке

33

Пример 1. Функция f(x)= cos x непрерывна в точке x0, так как

lim cosx = cos x0 (см. п. 1.1.13).

x→x0

Определение 1.33. Точка, в которой функция y=f(x) не обладает свойством непрерывности, называется точкой разрыва.

Пример 2. Покажем, что функция y=sgn x (см. (1.26)) разрывна в точке x0=0.

выполняется условие непрерывности (1.46) для функции sgn x в точке x0=0. То есть функция sgn x в точке x0=0 является разрывной функцией.

Пример 3. Рассмотрим функцию f(x)= x1−1 в окрестности точки

x0=1. Данная функция не определена в этой точке, следовательно, она разрывна в точке x0=1.

разрывна в точке x0=0, т.к. не определена в этой точке. Если доопределить ее в точке x0=0, задав ее значение в этой точке f(0)=1, т.е.

непрерывности (1.46) в точке x=0.

В заключении отметим, что если функция f(x) непрерывна в точке x0, то можно перейти к пределу в аргументе этой функции. Этот факт следует из условия непрерывности функции f(x) в точке x0 (см. (1.45)).

1.19. Классификация точек разрыва

Как уже говорилось выше, если функция f(x) в точке x0 удовлетворяет условию непрерывности 1.46, то функция f(x) будет непрерывна в точке x0. Если в этом условии что-то нарушается, то функция f(x) оказывается разрывной в точке x0.

1. Разрыв первого рода.

Если в точке разрыва x0 существуют конечные правосторонний и левосторонний неравные пределы функции f(x), то функция f(x) в точке

34

x0 имеет разрыв первого рода. Примером такой функции может служить уже рассмотренная выше функция sgn x. Она имеет разрыв первого рода в точке x0=0.

2. Устранимый разрыв.

Если в точке разрыва x0 существуют конечные односторонние

определена в точке x0 , то функция f(x) в точке x0 имеет устранимый разрыв. Примером такой функции может служить выше рассмотренная

функция sinx x , которая в точке x0=0 имеет устранимый разрыв.

3. Разрыв второго рода.

Точки разрыва, не являющиеся точками разрыва первого рода и устранимого разрыва, называются точками разрыва второго рода.

Подобного рода разрыв имеет уже выше рассмотренная функция

1.20. Определение непрерывности функции в точке с использованием понятия приращения функции

Пусть функция f(x) определена в точке x0 и в некоторой ее окрестности, а точка x0+∆x принадлежит этой окрестности, тогда разность f(x0+∆x) - f(x0) = ∆f(x0 )∆x называется приращением функции

f(x) в точке x0 при приращении аргумента ∆x.

Определение 1.34. Функция f(x) называется непрерывной в точке

Данное определение и определение 1.32. эквивалентны. Для доказательства этого утверждения необходимо доказать справедливость двух высказываний:

Читатель может самостоятельно выполнить эти доказательства, воспользовавшись определением предела функции, обозначением x0+∆x= x и тем фактом, что x→x0 ∆x→0.

35

1.21. Арифметические действия над непрерывными функциями

Теорема 1.28. Если функции f(x) и ϕ(x) непрерывны в точке x0, то

непрерывны в точке x0.

Для доказательства этой теоремы следует использовать определение функции, непрерывной в точке и теоремы об арифметических действиях над функциями, имеющими предел (п. 1.1.15).

Ниже приведем доказательство этой теоремы для случая произведения функций f(x) ϕ(x).

А последнее и означает, что функция f(x) ϕ(x) непрерывна в точке x0.

1.22. Непрерывность сложной функции

Пусть x=ϕ(t) задана на множестве {t} и имеет множество значений {x}. Пусть на этом множестве {x} задана функция y=f(x). Тогда на множестве {t} задана сложная функция y=f(ϕ(t)).

Теорема 1.29. Пусть функция y=f(x) непрерывна в точке x0 {x}, а функция x=ϕ(t) непрерывна в соответствующей точке t0 (ϕ(t)=x0). Тогда сложная функция y=f(ϕ(t)) непрерывна в точке t0. Для доказательства воспользуемся определением 1.30. Имеем, что для любой последовательности {tn}→t0 {ϕ(tn}→x0 {f(xn)=f(ϕ(tn)}→f(x0)=f(ϕ(t0)),

т.е.

Этот результат полезно записать и в следующей форме:

1.23. Свойства функций, непрерывных на сегменте

Определение 1.35. Функция f(x) называется непрерывной на сегменте [a;b] (непрерывной на интервале (a;b)), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

36

Определение 1.36. Функция f(x) называется непрерывной на множестве {x}, если она непрерывна в каждой точке этого множества. Символически это записывается так: f(x) C(x).

Оказывается, что непрерывные на сегменте функции обладают интересными свойствами. Ниже эти свойства сформулируем в виде теорем. Некоторые из них приведем с доказательствами.

Теорема 1.30. Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x0 и непрерывна в самой точке x0. Если f(x0)≠0, то существует окрестность точки x0, где функция f(x) имеет знак, совпадающий со знаком f(x0).

Дано: lim f(x) = f(x0 ),

x→x0

f(x0)≠0. (1.49)

Доказать окрестность x0, где sgn f(x)=sgn f(x0).

Из условия (1.49) следует, что для ε>0 (ε R) δ(ε)>0 (δ(ε) R) такое, что для всех х из δ(ε) окрестности точки х0 выполняется неравенство f(x)− f(x0 ) <ε или f(x0)-ε<f(x)<f(x0)+ε.

точки х0 знак функции f(x) совпадает со знаком f(x0) (f(x0)>0 и f(x)>0). Аналогично можно доказать теорему в случае f(x)<0.

Теорема 1.31. (первая теорема Больцано-Коши). Если функция f(x) непрерывна на сегменте[a;b] и на его концах принимает значения f(a) и f(b) разных знаков, то внутри сегмента[a;b] существует точка С такая,

что f(C)=0.

На рисунке 1.10 приведена геометрическая иллюстрация этой теоремы в случае f(a)<0 и f(b)>0.

Рис. 1.10.

37

Примеры

Пример 1. Доказать существование следующих пределов исходя из определения предела функции:

образом, мы убедились, что для ε 0 существует число β(ε) 0 , такое, что

39

Решение: в) В данном случае необходимо доказать, что для любого сколь угодно большого числа А>0 существует число δ (А) 0 такое, что:

Пример 2. Найти следующие пределы, не применяя правила Лопиталя.

Б.Б.Ф., то есть имеет место неопределенность типа ∞∞ . Для раскрытия

этой неопределенности следует числитель и знаменатель разделить на высшую степень числителя или знаменателя.

Имеем

40