matan
.pdft |
= |
A |
|
+ |
Bt + D |
. |
(t −1)(t 2 +t +1) |
t −1 |
|
||||
|
|
t 2 +t +1 |
Для определения пока неизвестных коэффициентов A, B, D получим систему уравнений
t 2 |
A + B = 0, |
|
|
t |
|
|
=1, |
|
A − B + D |
||
t |
0 |
|
|
|
A − D = 0. |
|
Отсюда А = |
|
1 |
|
, В = − |
|
1 |
|
, D = |
1 |
|
и интеграл (4.79) принимает вид |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
3 |
3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
∫ |
dt |
|
− |
1 |
∫ |
|
(t |
−1)dt |
|
= |
|
1 |
ln |
|
t −1 |
|
− |
1 |
∫ |
|
|
tdt |
|
|
|
|
+ |
1 |
∫ |
|
|
|
dt |
|
|
|
|
= |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5 |
t −1 |
5 |
t |
2 |
+t +1 |
5 |
|
|
5 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t + |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
t |
+ |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
2 |
|
4 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= |
1 ln t −1 − |
1 |
ln t 2 |
+t +1 + |
|
|
3 arctg |
2t +1 |
+C = |
|
1 |
ln |
(t −1)2 |
1 |
+ |
|
3 arctg |
2t +1 |
+C , |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5 |
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
t 2 +t + |
|
|
5 |
|
|
|
|
3 |
|
где t = 3 1+ x5 .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: ∫ |
dx |
|
5 = |
1 |
ln |
|
(3 1+x5 −1)2 |
|
+ |
3 |
arctg |
23 1+x5 +1 |
+C. |
|||||||||||
3 |
|
|
10 |
3 |
|
5 |
) |
2 |
+ |
3 |
1+x |
5 |
5 |
3 |
|
|||||||||
|
x 1+x |
|
|
|
( 1+x |
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
||||||||||
Пример 4. Вычислить: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x −1 dx |
|
, x≠0. |
|
|
|
|
|
|
|
(4.80) |
|
|
|
|
|||||
|
∫x2 |
2x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
−2x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Так как квадратный трехчлен 2x2 – 2x + 1 не имеет действительных корней (D = -4 < 0) и коэффициент при x2 положительное число (2 > 0), то для вычисления (4.80) можно пользоваться первой подстановкой Эйлера (4.54).
Имеем
|
|
2x2 − 2x +1 = t − 2x , |
x = |
|
t 2 −1 |
|
, |
|
|
|
|
2( 2t − |
1) |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
dx = |
2t 2 |
−2t + 2 dt , |
2x2 − 2x +1 = |
2t 2 |
− 2t + |
2 . |
(4.81) |
||
|
2( |
2t −1)2 |
|
2( |
2t −1) |
|
|
|
|
|
|
|
142 |
|
|
|
|
|
|
Тогда с учетом (4.81) интеграл (4.80) принимает вид
∫ |
|
|
(x −1)dx |
= 2∫ |
t 2 |
− 2 2t +1 |
dt . |
(4.82) |
|||||
x |
2 |
2x |
2 |
− 2x +1 |
(t −1) |
2 |
(t +1) |
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Для вычисления (4.82) разложим подынтегральную правильную рациональную дробь на простые правильные рациональные дроби с неопределенными коэффициентами в виде
t 2 − 2 2t +1 |
= |
A |
|
+ |
B |
+ |
E |
|
+ |
D |
. |
(4.83) |
|
(t −1)2 (t +1)2 |
t − |
1 |
(t −1)2 |
t + |
1 |
(t +1)2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
Приведя правую часть (4.83) к общему знаменателю и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t справа и слева в знаменателях (4.83), получим следующую систему линейных уравнений для определения коэффициентов A, B, C, D.
|
|
|
t3 |
A + E = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
t 2 |
|
|
|
|
|
− E + D =1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
A + B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.84) |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− A + 2B − E − 2D |
= −2 2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
t |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
+ D =1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− A + B + E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Решая систему (4.84), получим А = E = 0, В = |
1 − |
2 |
|
, |
D = |
|
1 + 2 |
. |
||||||||||||||||||||
|
2 |
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||
Тогда вместо интеграла (4.82) будем иметь |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
2∫ |
|
t 2 |
− 2 |
|
2t +1 |
dt = (1 |
− 2)∫ |
|
|
dt |
|
+ (1 + 2)∫ |
|
|
dt |
|
+C = |
|
|
|
|||||||
|
|
(t |
+ |
1) |
2 |
(t |
2 |
+1) |
2 |
(t |
−1) |
2 |
(t |
2 |
+1) |
2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
= −1 − |
2 |
− |
1 + 2 |
+C = 2 |
|
2 −t |
+C , |
|
|
|
|
|
|
(4.85) |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
t −1 |
|
t +1 |
|
|
t 2 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
где |
|
- производная постоянная . Взяв |
|
= |
2 +С, где |
|
С – производная |
||||||||||||||||||||||
С |
С |
|
постоянная , и переходя в (4.85) к переменной x, окончательно получим
2 |
2 −t |
+ 2 |
+C = |
|
2x2 − 2x +1 |
+C. |
|
t 2 |
−1 |
|
x |
||||
|
|
|
|
|
143