matan

Далее пользуясь теоремами об арифметических действиях над

Ответ: 7 +1 10 .

Решение: б) При x → 3 числитель и знаменатель этой дроби б.м.ф.,

корнем и многочлена, стоящего в числителе, и многочлена, стоящего в знаменателе. Разлагая числитель и знаменатель на простые множители, получим:

Ответ: 103 .

Решение: в) В данном случае неопределенность типа 00 может быть раскрыта, если выполнить следующие преобразования:

знаменатель этой дроби б.м.ф. при x →1 и имеем неопределенность типа

00 . Заменяя б.м.ф. sin(x −1) эквивалентной величиной x −1, получим

41

Ответ: ∞.

Решение: д) Числитель и знаменатель этой дроби б.м.ф. при x → 0 .

То есть имеем неопределенность типа 00 . Прибавляя и отнимая

Ответ: 32 .

Решение: е) Перепишем данный предел в виде

замечательным пределом, предварительно выполняя следующие преобразования:

42

а) f(x)=2(ex3 -1) при х→0; ϕ(x)=x при х→0. б) f(x)=ln(sin x2+1) при х→0; ϕ(x)=x при х→0.

Решение: а). Пусть функция f(x)=2(ex3 -1) б.м.ф. порядка n по отношению к основной бесконечно малой ϕ(x) = x при x → 0 . Тогда по определению (1.28.) и с учетом того, что ex3 -1 ~ x3 при x → 0 , имеем

Отсюда заключаем, что б.м.ф. f(x)=2(ex3 -1) бесконечно малая третьего порядка по отношению к основной бесконечно малой x при x → 0 .

Ответ: ex3 -1 бесконечно малая третьего порядка по отношению к бесконечно малой x при x→ 0.

Решение: б) Рассуждая аналогично примеру а) имеем

Ответ: ln(sin x2 + 1) бесконечно малая второго порядка по отношению к бесконечно малой x при x→0.

45

Тест

Вычислить пределы:

4. limx→∞ x[ln(3x −1)− ln(3x −2)].

а) ∞; б) 0; в) 13 ; г) 2.

3

5. lim(1 +cos x)cos x .

x→π2

а) 1;

б) е3;

в) e; г) 0.

46

6. lim x +4 −3x . x→∞ x +8

а) 1; б) ∞;

в) е; г) е12.

а) 0; б) 2; в) 12 ; г) 5.

Определите порядок б.м.ф. f(x) по отношению к б.м.ф. ϕ(х): 8. f(x)= x1(+x +x1), ϕ(x)=x, x→0.

а) 1; б) 3; в) 4; г) 6;

9. f(x)= 1 + x2 tg π2x , ϕ(x)=x, x→0.

а) 2; б) 1; в) 3; г) 4.

Найти точку разрыва функции и определить его характер: 10. f(x)= xx .

а) х=0 - точка разрыва первого рода; б) х=0 - точка разрыва второго рода; в) х=0 - точка устранимого разрыва.

47

Раздел II. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

2.1. Определение производной функции первого порядка

Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки х0 и пусть х0+∆х, где ∆х есть приращение аргумента, есть некоторая точка этой окрестности.

Определение 2.1. Если существует предел отношения

первого порядка функции y=f(x) в точке х0 и обозначается так:

Определение 2.2. Если функция y=f(x) определена в

он называется, соответственно, конечной или бесконечной правосторонней (левосторонней) производной функции y=f(x) в точке х=х0 и обозначается так:

Теорема 2.1. Функция y=f(x), определенная в некоторой окрестности точки х=х0, имеет конечную производную f′(x0) тогда и только тогда, когда существуют равные друг другу конечные правосторонняя и левосторонняя производные этой функции в точке х0,

т.е. когда f′(x0+0)=f′(x0-0). В этом случае f′(x)= f′(x0+0)=f′(x0-0).

Заметим, что доказательство этой теоремы следует из теоремы

1.16об односторонних пределах.

2.2.Геометрический смысл производной.

48

2.3. Дифференцируемость функции. Дифференциал функции и его геометрический смысл

Пусть функция y=f(x) определена на интервале (a;b), х - некоторое фиксированное значение аргумента, ∆х - любое приращение аргумента такое, что (х+∆х) (a;b).

Определение 2.3. Функция y=f(x) называется дифференцируемой

вточке х, если приращение ∆у=∆f(x) этой функции в точке х, соответствующее приращению аргумента ∆х, может быть представлено

ввиде

∆у=А ∆х+α(∆х) ∆х, (2.5)

где А - константа, не зависящая от ∆х, а α(∆х) - является бесконечно малой при ∆х→0.

Заметим, что функция α(∆х) при ∆х=0, вообще говоря, не определена. Поэтому в этой точке приписываем значение α(0)=0, чтобы функция α(∆х) стала непрерывной в точке ∆х=0. Тогда равенство (2.5) можно распространить и на значение ∆х=0. Заметим также, что так как α(∆х) и ∆х бесконечно малые при ∆х→0, то α(∆х) ∆х=0(∆х), т.е. второй член в (2.5) бесконечно малая величина более высокого порядка, чем ∆х. С учетом того (2.5) можно переписать в виде

∆у=А ∆х+0(∆х). (2.6)

Теорема 2.2. Для того, чтобы функция у=f(x) являлась дифференцируемой в точке х (символически это записывается так:

Из (2.7) следует, что ∆у=А ∆х+α(∆х)∆х. Отсюда, при условии ∆х≠0, имеем

50