matan

y

y=y(x)

Рис. 5.10.

Можно доказать, что если при этом y′(x) на сегменте [a,b] непрерывна, то поверхность вращения квадрируема и ее площадь Sox можно вычислить по формуле:

a

Если график функции х=х(у), заданной на сегменте [c,d] (х′(у) непрерывна на [c,d]), вращается вокруг оси 0у, то площадь Soy поверхности вращения в этом случае можно вычислить по формуле

a

В случае, когда кривые у=у(х) и х=х(у) заданы в параметрической форме уравнениями х=х(t), y=y(t), где t [α,β], то из (5.63) и (5.64)

получим

Заметим далее, что при вращении вокруг 0х криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной функции у=у(х) (х [a,b]), ординатами х=а и х=b и отрезком оси 0х между точками a и b (рис. 5.10), получаем кубируемое тело вращения (объем границы S этого

163

тела равен нулю, а объем тела вращения конечное число), объем которого можно вычислить по формуле

a

Если тело вращения получается при вращении криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной функции х=х(у) (у [c,d]), абсциссами y=с и у=d и отрезком оси 0у между точками c и d, то его объем можно вычислить по формуле

a

При параметрическом задании кривых у=у(х) и х=х(у) уравнениями х=х(t), y=y(t) (t [α,β]) для вычисления объемов тел вращения нужно в формулах (5.66) и (5.67) перейти к переменной t и выполнить интегрирование.

164

Примеры

Пример 1. С помощью определенного интеграла вычислить длину l спирали Архимеда от начала до конца первого завитка, если она задана уравнением ρ=aθ, a>0 в полярной системе координат (рис. 5.11).

0

p

Рис. 5.11.

Решение: По условию задачи 0 ≤ Θ ≤ 2π и ρ/ =а. Согласно формуле

(5.57) имеем

Теперь вычисляя определенный интеграл с учетом (4.26) и (5.37), получим

Пример 2. С помощью определенного интеграла вычислить площадь одной арки циклоиды, если она задана своими параметрическими уравнениями в виде (рис. 5.12)

x=a(t-sint), a>0, y=a(1-cost), 0≤t≤2π. (5.68)

y

2a

Рис. 5.12.

165

Решение: согласно формуле (5.58) имеем

S = 2∫πay(x)dx .

0

Для вычисления этого определенного интеграла перейдем к переменной t по формуле (5.68) с учетом того, что dx = a(1-cost)dt и 0 ≤ t ≤ 2π . Имеем

Ответ: S = 3πa2 .

Пример 3. С помощью определенного интеграла вычислить объем тела, получаемого вращением астроиды вокруг оси Оx, если астроида задана уравнением

в декартовой системе координат (рис. 5.13.).

а

-а

Рис. 5.13

166

Ответ: Vox =10532 πa3.

Пример 4. С помощью определенного интеграла вычислить площадь поверхности Sox, полученной вращением эллипса (рис. 5.14) вокруг оси 0х (эллипсоид вращения), если эллипс задан своим каноническим уравнением

в декартовой системе координат.

y

4

-4

Рис. 5.14.

167

Тест

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами

y2+8x=16, y2-24x=48.

а) 323 6 ; б) 323 ;

в) 36 ; г) 32.

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кардиоидой, уравнение которой задано в параметрической форме

x=2acos t - acos 2t, y=2asin t - asin 2t, a>0.

а) πа2;

б) 6πа2; в) 3πа2;

г) 2π;

3. Вычислить площадь четырехлепестковой розы, уравнение которой задано в полярных координатах

ρ=asin 2ϕ, a>0.

а) a 2 ;

2

б) π3a 2 ;

в) π2a 2 ;

г) а2.

169

4. Вычислить длину дуги кривой, уравнение которой задано в декартовой системе координат

x = 14 y2 − 12 ln y , 1≤y≤e.

а) e 4+1 ;

б) 14 ; в) 4e ;

г) e24+1 .

5. Вычислить длину дуги кривой, уравнение которой задано в параметрической форме

x=etcos t, y=etsin t, 0 ≤ t ≤ ln π.

а) 2 ; б) 2 (π-1); в) π-1; г) π.

6. Вычислить длину дуги кривой, уравнение которой задано в полярной системе координат

ρ=a(1+cos θ), a>0.

а) 8; б) 8а;

в) а;

г) a2 .

7. Вычислить объем тела, полученного от вращения фигуры, ограниченной кривыми y=sin x, y=0 (0 ≤ x ≤ π), вокруг оси 0у.

а) 2π2; б) 2π; в) 2; г) π.

170