- •Основное содержание лекционного курса
- •«Геометрия и алгебра»
- •Для специальности «Прикладная математика»
- •Аналитическая геометрия.
- •246019, Г. Гомель, ул. Советская, 104
- •Глава 1. Векторы и координаты
- •§ 1. Понятие вектора
- •Параболоид
- •Гиперболоид.
- •Линейные операции над векторами.
- •Проекции.
- •Поверхности вращения
- •Эллипсоид
- •Скалярное произведение векторов.
- •Конические поверхности
- •Векторное произведение двух векторов.
- •Свойства векторного произведения.
- •Смешанное произведение векторов.
- •Свойства смешанного произведения.
- •Цилиндрические поверхности
- •Линейная зависимость векторов.
- •Координаты на прямой.
- •VI поверхности второго порядка Основная теорема о поверхностях второго порядка
- •Координаты на плоскости.
- •Координаты в пространстве.
- •Скалярное произведение векторов в координатной форме.
- •Определители второго и третьего порядков
- •Векторное произведение векторов в координатной форме.
- •Смешанное произведение векторов в координатной форме.
- •Полярные координаты.
- •Прямоугольные координаты на плоскости.
- •Глава 2. Прямая на плоскости. Прямая на плоскости
- •Инварианты кривой второго порядка
- •Общее уравнение прямой. Уравнение прямой в отрезках.
- •Параметрическое и каноническое уравнения прямой. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.
- •Пучок прямых
- •Общая теория кривых второго порядка
- •Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых
- •Угол между двумя прямыми
- •Расстояние от точки до прямой
- •III плоскость Общее уравнение плоскости
- •Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки
- •Нормальное уравнение плоскости
- •Расстояние от точки до плоскости
- •Свойства определителей второго и третьего порядков
- •Взаимное расположение двух плоскостей
- •Пучок и связка плоскостей
- •Угол между двумя плоскостями
- •IV прямая в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве Уравнение прямой в пространстве
- •Классификация кривых второго порядка (квп)
- •Полярное уравнение эллипса, гиперболы, параболы
- •Взаимное расположение двух прямых в пространстве
- •Фокальный параметр эллипса и гиперболы
- •Директрисы эллипса и гиперболы.
- •Расстояние от точки до прямой в пространстве
- •Уравнение плоскости, проходящей через две заданные прямые
- •Расстояние между скрещивающимися прямыми
- •Взаимное расположение прямой и плоскости
- •Гипербола
- •Угол между прямой и плоскостью
- •V кривые второго порядка Парабола
Прямоугольные координаты на плоскости.
Пусть дана старая и новая прямоугольные системы координат, соответственно (0,,) и (О',','). Обозначив через φ угол между векторамии'. Тогда
x = x'cosφ - y'sinφ + α,
y = x'sinφ + y'cosφ + β
19
В частности, если =' и=', то формулы принимают вид
x = х' + α, у = у' + β
- формулу преобразования координат при параллельном переносе системы координат
Если же точки 0 и 0' совпадают, то
x = x'cosφ - y'sinφ,
y = x'sinφ + y'cosφ.
- формулы преобразования координат при повороте системы координат вокруг начала на угол φ
Глава 2. Прямая на плоскости. Прямая на плоскости
Пусть в плоскости α задана афинная система координат (0,,) и прямаяl, принадлежащая этой плоскости α. Составим уравнение прямой l. Заметим, что положение прямой l однозначно определено, если известен вектор, коллинеарный этой прямой и называемый направляющим вектором прямой, и точка, через которую прямая проходит. Очевидно, что в качестве направляющего вектора прямой можно взять любой вектор, коллинеарный данной прямой. Пусть = (m1,n1) и =(m2,n2) - какие-либо направляющие векторы прямой l. Тогда из необходимого и достаточного условия коллинеарности двух векторов
20
(7)
Тогда в новой системе координат O’X’Y’
Вычтем из 3-ей строки 1-ю, умноженную на x0, и затем вторую,
умноженную на у0. Тогда
Теперь из 3-ro столбца вычтем 1-й, умноженный на x0 и второй, умноженный на y0. Получим, что I'3=I3.
Рассмотрим теперь преобразование поворота
Разложим I'3 по элементам 3-го столбца. Получим:
=
(8)
Распишем каждое из 3-х слагаемых в выражении (1.34), пользуясь формулами (1.31).
53
Если же А = 0, то α = 0 и в этом случае a12=(1/2)(а11—а22).
Введем также угол β, считая
, ,
если С0 . Если же С=0, т.е. а13=а23=0, то β=0 .
Тогда выражения (1.30) перепишутся в виде:
a'11=Азin(2φ+α)+В; а'12=Асоs(2φ+α);
a'22=—Азin(2φ+α)+В; a'13=Csin(φ+β); (5)
a'23= Ссоз(φ+β); а'33=а33.
Отметим, что величины А, В, С и углы α, β не зависят от φ.
Инварианты кривой второго порядка
Инвариантом уравнения (1) относительно преобразования системы координат ОХУ называется такая функция
f(а11, а12, a22, a13, а23, а33),
которая не меняется при переходе к новой системе координат 0'Х'У'. Таким образом, если f — инвариант, то f(a11,...а33) = f(a'11...а'33).
Теорема 1.2. Величины
(6)
являются инвариантами уравнения (1) линии второго порядка
относительно преобразований декартовой системы координат.
Доказательство проведем вначале для преобразования параллельного переноса, а затем для преобразования поворота.
Инвариантность I1 и I2 следует из формул (2). Заметим, что из этих формул также следует, что
52
следует, что Если прямаяl не параллельна оси OY, то следовательно,
- угловой коэффициент относительно выбранной системы координат.
В частности, для прямоугольной системы координат (0,)
k = tgα, где α – угол между осью ОХ и любым направляющим вектором прямой l. Угол α называется углом наклона прямой l к оси ОХ.
Если прямая l параллельна оси ОY, то l пересекает ось OХ в некоторой точке Р(а,0). Тогда все точки прямой и только они удовлетворяют соотношению
x = a , Р(а,0)
- уравнение прямой, проходящей через точку параллельно оси ОУ. Заметим, что в качестве направляющего вектора такой прямой можно взять вектор (0,р), где р - произвольное отличное от нуля число. В этом случае, как видим угловой коэффициент прямой не существует.
Пусть прямая l проходит через точку A (а,b) и имеет угловой коэффициент k. Возьмем произвольную точку М (х,у) на прямой l. Тогда =(х-а, у-b) - направляющий вектор прямой l.
Следовательно,
21
Отсюда
y – b = k (x-а)
-уравнение прямой с угловым коэффициентом k.