Угол между двумя плоскостями

Пусть даны плоскости α₁ и α₂ своими общими уравнениями. Тогда под углом φ между плоскостями α₁ и α₂ понимают наименьший угол, на который надо повернуть одну из плоскостей до ее совпадения с другой плоскостью. Поэтому . Очевидно, что либо φ=(^,), либо φ= (-^,), гдеи- нормальные векторы плоскостей α₁ и α₂ соответственно. В любом случае

В частности, если φ = π/2, то

А₁A₂ + В₁B₂ + С₁C₂ = 0

- условие перпендикулярности двух плоскостей.

IV прямая в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве Уравнение прямой в пространстве

Очевидно, что прямую в пространстве можно задать как линию пересечения двух плоскостей α₁ и α₂. Тогда в произвольной афинной системе координат прямая задается системой двух линейных уравнений

(1)

- общее уравнение прямой или уравнение прямой в общем виде.

30

Классификация кривых второго порядка (квп)

Уравнение вида

ax²+bху+су²+dx+еу+f=0, (1)

где a²+ b²+ c² ≠ 0 , называется уравнением кривой второго порядка в прямоугольноу системе ккординат OXY. Преобразуем систему координат таким образом, чтобы уравнение (1) приняло наиболее простой вид.

1. Если в уравнении коэффициент b ≠ 0, то можно повернуть систему координат OXY на угол α такой, что в новой системе координат O’X’Y’ уравнение (1) не будет содержать член с произведением x’y’.

Действительно, согласно формулам поворота x = x’cosα – y’sinα, y = y’sinα + y’cosα.. Подставляя значения x и y в (1) легко подсчитать, что коэффициент при x’y’ примет вид

-2acosα sinα + b²cos²α - b²sin²α + 2csinα cosα.

Упрощая, получаем

-asin2α + bcos2α + csin2α = 0,

(a - c)sin2α = bcos2α, т.е.

,

Таким образом, в дальнейшем предполагаем, что уравнение КВП имеет вид

ax²+bху+су²+dx+еу+f=0. (2)

2. Если в уравнении (2) а ≠ 0 и d ≠ 0, либо с ≠ 0 и е ≠ 0, то, осуществляя параллельный перенос системы координат ОХУ, получаем уравнение КВП, не содержащее член с х, соответственено у.

Действительно, пусть а ≠ 0, d ≠ 0. Выделим полный квадрат при переменной х в (2).

43

Полярное уравнение эллипса, гиперболы, параболы

Выведем полярное уравнение для отличного от окружности эллипса, параболы или правой ветви гиперболы. Для этого совместим полюс полярной системы координат с левым фокусом эллипса (правым фокусом гиперболы) или единственным фокусом параболы, а полярную ось направим перпендикулярно директрисе d, соответствующей фокусу. Обозначим через F, р и ε соответственно фокус, фокальный параметр и эксцентриситет кривой. Пусть М — произвольная точка кривой, МF = r— полярный радиус точки М, φ — ее полярный угол. Тогда

- полярное уравнение эллипса, отличного от окружности, параболы, правой ветви гиперболы.

Для левой ветви гиперболы

• полярное уравнение левой ветви гиперболы.

42

Пусть l – прямая. Тогда ее положение в пространстве однозначно определяется заданием ее направляющего вектора =(m,n,р) и точкой М₀(х₀,у₀,z₀), через которую прямая проходит. Возьмем произвольную точку М(х,у,z)l. Тогда и, значит,

Переходя к координатам, получим

x - x₀ = tm, y - y₀ = tn, z - z₀ = tp

- параметрические уравнение прямой.

Выражая параметр t, получим

- каноническое уравнение прямой, проходящей через точку М₀(х₀ y₀,z₀) параллельно вектору =(m,m,р).

Последнее уравнение равносильно

- общее уравнение прямой.

Пусть M₁{x₁,у₁,z₁) и М₂(х₂,у₂,z₂) – точки прямой. Тогда

- уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

Наоборот, пусть задано общее уравнение прямой.

Беря произвольную точку М₀(х₀,у₀,z₀) прямой получаем

31

- каноническое уравнение прямой.