- •Основное содержание лекционного курса
- •«Геометрия и алгебра»
- •Для специальности «Прикладная математика»
- •Аналитическая геометрия.
- •246019, Г. Гомель, ул. Советская, 104
- •Глава 1. Векторы и координаты
- •§ 1. Понятие вектора
- •Параболоид
- •Гиперболоид.
- •Линейные операции над векторами.
- •Проекции.
- •Поверхности вращения
- •Эллипсоид
- •Скалярное произведение векторов.
- •Конические поверхности
- •Векторное произведение двух векторов.
- •Свойства векторного произведения.
- •Смешанное произведение векторов.
- •Свойства смешанного произведения.
- •Цилиндрические поверхности
- •Линейная зависимость векторов.
- •Координаты на прямой.
- •VI поверхности второго порядка Основная теорема о поверхностях второго порядка
- •Координаты на плоскости.
- •Координаты в пространстве.
- •Скалярное произведение векторов в координатной форме.
- •Определители второго и третьего порядков
- •Векторное произведение векторов в координатной форме.
- •Смешанное произведение векторов в координатной форме.
- •Полярные координаты.
- •Прямоугольные координаты на плоскости.
- •Глава 2. Прямая на плоскости. Прямая на плоскости
- •Инварианты кривой второго порядка
- •Общее уравнение прямой. Уравнение прямой в отрезках.
- •Параметрическое и каноническое уравнения прямой. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.
- •Пучок прямых
- •Общая теория кривых второго порядка
- •Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых
- •Угол между двумя прямыми
- •Расстояние от точки до прямой
- •III плоскость Общее уравнение плоскости
- •Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки
- •Нормальное уравнение плоскости
- •Расстояние от точки до плоскости
- •Свойства определителей второго и третьего порядков
- •Взаимное расположение двух плоскостей
- •Пучок и связка плоскостей
- •Угол между двумя плоскостями
- •IV прямая в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве Уравнение прямой в пространстве
- •Классификация кривых второго порядка (квп)
- •Полярное уравнение эллипса, гиперболы, параболы
- •Взаимное расположение двух прямых в пространстве
- •Фокальный параметр эллипса и гиперболы
- •Директрисы эллипса и гиперболы.
- •Расстояние от точки до прямой в пространстве
- •Уравнение плоскости, проходящей через две заданные прямые
- •Расстояние между скрещивающимися прямыми
- •Взаимное расположение прямой и плоскости
- •Гипербола
- •Угол между прямой и плоскостью
- •V кривые второго порядка Парабола
Общее уравнение прямой. Уравнение прямой в отрезках.
Пусть задана некоторая афинная система координат OXY.
Теорема 2.1. Любая прямая l системе координат ОX задается линейным уравнением вида
Аx + By + С = О, (1)
где А, В, С R и А2 + В20. Обратно, любое уравнение вида (1) задает прямую.
Уравнение вида (1) - общее уравнение прямой.
Пусть в уравнении (1) все коэффициенты А, В и С отличны от нуля. Тогда
-Ах-By=-С, и .
Обозначим -С/А=а, -С/B=b. Получим
- уравнение в отрезках.
Действительно, числа |а| и |b| указывают на величины отрезков, отсекаемых прямой l на осях ОХ и OY соответственно.
Пусть прямая l задана общим уравнением (1) в прямоугольной системе координат и пусть точки M1(x1,у1) и М2(х2,у2) принадлежит l. Тогда
Аx1 + Ву1 + С = Ах2 + Ву2 + С, то есть A(x1-x2) + В(у1-у2) = 0.
Последнее равенство означает, что вектор =(А,В) ортогонален вектору=(x1-x2,у1-у2). т.е. Вектор(А,В) называетсянормальным вектором прямой l.
22
, т.е.
a'13=a13cosφ+a23cosφ
a'23=a23cosφ-a13sinφ
a'33=a33 (4)
Вывод: старшие коэффициенты а'11, а'12 и а'22 , выражаются только через угол φ старшие коэффициенты а11, а12 и а22. Коэффициенты а'13 и а'23 выражаются только через угол φ и коэффициенты а13, а23. Коэффициенты а'33 и а33 равны.
Для упрощения равенств (4) введем следующие обозначения:
.
Тогда
,
если А0 . Введем угол α, где
,
51
(2)
Тогда уравнение (*) примет вид:
(3)
Вывод: при параллельном переносе системы координат, коэффициенты группы старших членов не изменяются, а коэффициенты линейной части изменяются по формулам (2).
Применим формулы поворота системы ОХУ на угол φ т.е.
х=х'соsφ-y'sinφ;
y=x'sinφ+y'cosφ;
Получим:
Тогда в новой системе координат, уравнение (1) примет вид:
где
50
Рассмотрим вектор =(-В,А). Тогда
=А(-В)+ВА=0. т.е. .
Следовательно, вектор =(-В,А) является направляющим вектором прянойl.
Параметрическое и каноническое уравнения прямой. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.
Пусть в афинной системе координат (0, X, Y) задана прямаяl, ее направлящий вектор = (m,n) и точкаM0 (x0,y0) принадлежащая l. Тогда для произвольной точки M (x,у) этой прямой имеем
и так как то.
Если обозначить и
- радиус-векторы соответственно точек M и M0, то
- уравнение прямой в векторной форме.
Так как =(х,у), =(х0,у0), то
x = x0 + mt,
y = y0 + nt
- параметрическое уравнение прямой.
Отсюда следует, что
- каноническое уравнение прямой.
Наконец, если на прямой l заданы две точки M1(х1,у1) и
M2(x2,у2), то вектор =(х2-х1,y2-у1) является направляющим вектором прямой l. Тогда
23
- уравнение прямой проходящей через две заданные точки.
Взаимное расположение двух прямых.
Пусть прямые l1 и l2 заданы своими общими уравнениями
l1: А1х + В1у + С1 = 0, (1)
l2: А2х + В2у + С2 = 0.
Теорема. Пусть прямые l1 и l2 заданы уравнениями (1). Тогда и только тогда:
1) прямые пересекаются, когда не существует такого числа λ, что
A1=λA2, В1=λB2;
2) прямые совпадают, когда найдется такое число λ, что
А1=λA2, B1=λB2, С1=λС2;
3) прямые различны и параллельны, когда найдется такое числе λ, что
А1=λA2, В1=λВ2, С1λС2.