- •Основное содержание лекционного курса
- •«Геометрия и алгебра»
- •Для специальности «Прикладная математика»
- •Аналитическая геометрия.
- •246019, Г. Гомель, ул. Советская, 104
- •Глава 1. Векторы и координаты
- •§ 1. Понятие вектора
- •Параболоид
- •Гиперболоид.
- •Линейные операции над векторами.
- •Проекции.
- •Поверхности вращения
- •Эллипсоид
- •Скалярное произведение векторов.
- •Конические поверхности
- •Векторное произведение двух векторов.
- •Свойства векторного произведения.
- •Смешанное произведение векторов.
- •Свойства смешанного произведения.
- •Цилиндрические поверхности
- •Линейная зависимость векторов.
- •Координаты на прямой.
- •VI поверхности второго порядка Основная теорема о поверхностях второго порядка
- •Координаты на плоскости.
- •Координаты в пространстве.
- •Скалярное произведение векторов в координатной форме.
- •Определители второго и третьего порядков
- •Векторное произведение векторов в координатной форме.
- •Смешанное произведение векторов в координатной форме.
- •Полярные координаты.
- •Прямоугольные координаты на плоскости.
- •Глава 2. Прямая на плоскости. Прямая на плоскости
- •Инварианты кривой второго порядка
- •Общее уравнение прямой. Уравнение прямой в отрезках.
- •Параметрическое и каноническое уравнения прямой. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.
- •Пучок прямых
- •Общая теория кривых второго порядка
- •Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых
- •Угол между двумя прямыми
- •Расстояние от точки до прямой
- •III плоскость Общее уравнение плоскости
- •Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки
- •Нормальное уравнение плоскости
- •Расстояние от точки до плоскости
- •Свойства определителей второго и третьего порядков
- •Взаимное расположение двух плоскостей
- •Пучок и связка плоскостей
- •Угол между двумя плоскостями
- •IV прямая в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве Уравнение прямой в пространстве
- •Классификация кривых второго порядка (квп)
- •Полярное уравнение эллипса, гиперболы, параболы
- •Взаимное расположение двух прямых в пространстве
- •Фокальный параметр эллипса и гиперболы
- •Директрисы эллипса и гиперболы.
- •Расстояние от точки до прямой в пространстве
- •Уравнение плоскости, проходящей через две заданные прямые
- •Расстояние между скрещивающимися прямыми
- •Взаимное расположение прямой и плоскости
- •Гипербола
- •Угол между прямой и плоскостью
- •V кривые второго порядка Парабола
V кривые второго порядка Парабола
Определение: Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от некоторой точки,называемой фокусом параболы и некоторой прямой, называемой директрисой параболы.
Уравнение параболы принятo записывать в следующем виде:
y2 = 2px , p>0 (1)
каноническое уравнение параболы.
Свойства параболы непосредственно следуют из
свойств уравнения:
1.Абсцисса любой точки параболы неотрицательна.
2.Парабола проходит через начало координат.
3.Парабола симметрична относительно оси абсцисс.
4.При неограниченном возрастании абсциссы x ордината у возрастает по абсолютной величине.
Точка F(;0) называетсяфокусом параболы, прямая -директрисой.
Величина р называется фокальным параметром или просто параметром параболы.
Эллипс
Определение. Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек F1 и F2 этой плоскости, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная, равная 2а (а>0), большая, чем расстояние между фокусами.
Для составления уравнениэллипса выберем прямоугольную декартову систему координат так, чтобы ось ОХ
36
проходила через фокусы F1 и F2, а начало координат — точка О находилась в середине отрезка F1F2.
Обозначим F1F2 = 2с. Тогда F1(-с,0), F2(c,0). Пусть М(х,у) – произвольная точка эллипса. Тогда MF1+ MF2= 2а, а>с.
Так как , и уравнение принимает вид:
. (2)
Пусть координаты точки М1(х1,у1)удовлетворяют уравнению (2).
Обозначим r1 = F1M1, r2 = F2M2 — фокальные радиусы точек М1 М2. Тогда , , значит, r1+r2=2a.
Теперь по свойствам уравнения (2) исследуем геометрические свойства эллипса.
1. Оси ОХ и ОУ являются осями симметрии эллипса. Следовательно, эллипс достаточно исследовать только в первой координатной четверти.
2. Эллипс пересекает координатные оси в точках А1(-а,0), А2(а,0), В1(0,b), В2(0,-b), называемых вершинами эллипса.
3. Эллипс расположен в прямоугольнике, ограниченном прямыми х=а, у =b.
4. Из уравнений следует, что при возрастании х от 0 до а в первой координатной четверти, у убывает от b до 0.
По полученным свойствам строим эллипс Отрезок А1А2 и его длина 2а называются большой осью эллипса, а отрезок B1B2 и его длина 2b называются малой осью эллипса. Отрезок ОА1 с длиной а и отрезок ОВ1 с длиной b называются соответственно большой и малой полуосями эллипса. Длина отрезка F1F2=2с называется фокусным расстоянием, начало координат— центр эллипса.
Еслиа=b, то получаем каноническое уравнение окружности
Уравнения х = acost, у = bsint -
Параметрические уравнения эллипса.
37