- •Основное содержание лекционного курса
- •«Геометрия и алгебра»
- •Для специальности «Прикладная математика»
- •Аналитическая геометрия.
- •246019, Г. Гомель, ул. Советская, 104
- •Глава 1. Векторы и координаты
- •§ 1. Понятие вектора
- •Параболоид
- •Гиперболоид.
- •Линейные операции над векторами.
- •Проекции.
- •Поверхности вращения
- •Эллипсоид
- •Скалярное произведение векторов.
- •Конические поверхности
- •Векторное произведение двух векторов.
- •Свойства векторного произведения.
- •Смешанное произведение векторов.
- •Свойства смешанного произведения.
- •Цилиндрические поверхности
- •Линейная зависимость векторов.
- •Координаты на прямой.
- •VI поверхности второго порядка Основная теорема о поверхностях второго порядка
- •Координаты на плоскости.
- •Координаты в пространстве.
- •Скалярное произведение векторов в координатной форме.
- •Определители второго и третьего порядков
- •Векторное произведение векторов в координатной форме.
- •Смешанное произведение векторов в координатной форме.
- •Полярные координаты.
- •Прямоугольные координаты на плоскости.
- •Глава 2. Прямая на плоскости. Прямая на плоскости
- •Инварианты кривой второго порядка
- •Общее уравнение прямой. Уравнение прямой в отрезках.
- •Параметрическое и каноническое уравнения прямой. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.
- •Пучок прямых
- •Общая теория кривых второго порядка
- •Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых
- •Угол между двумя прямыми
- •Расстояние от точки до прямой
- •III плоскость Общее уравнение плоскости
- •Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки
- •Нормальное уравнение плоскости
- •Расстояние от точки до плоскости
- •Свойства определителей второго и третьего порядков
- •Взаимное расположение двух плоскостей
- •Пучок и связка плоскостей
- •Угол между двумя плоскостями
- •IV прямая в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве Уравнение прямой в пространстве
- •Классификация кривых второго порядка (квп)
- •Полярное уравнение эллипса, гиперболы, параболы
- •Взаимное расположение двух прямых в пространстве
- •Фокальный параметр эллипса и гиперболы
- •Директрисы эллипса и гиперболы.
- •Расстояние от точки до прямой в пространстве
- •Уравнение плоскости, проходящей через две заданные прямые
- •Расстояние между скрещивающимися прямыми
- •Взаимное расположение прямой и плоскости
- •Гипербола
- •Угол между прямой и плоскостью
- •V кривые второго порядка Парабола
Координаты в пространстве.
Определение. Пусть в пространстве заданы три координатные оси OX, OY и OZ с некомпланарными ортами ,, соответственно. Тогда четверка (0, ,,) называется афинным репером, или афинной системой координат в пространстве.
Точка 0 - начало координат, векторы ,, - базисные векторы.
Так как векторы ,, - линейно независимы, то для
любого вектора имеет место разложение:
= x+y+z
Числа x, y, z называются координатами точки М (записывается: М (х,у,z)), называетсярадиус-вектором точки М с координатами х, у, z (записывается: ОМ = (х,у,z)), причем х называется абсциссой, у - ординатой, z - аппликатой.
Афинную систему часто обозначают через OXYZ. Оси OX, OY, OZ называют соответственно осями абсцисс, ординат и аппликат. Плоскости, определяемые координатными осями, т.е. OXY, OYZ, OXZ, называют координатными плоскостями. Эти плоскости делят все пространство на восемь частей, называемыхкоординатными ок-
14
Так как I2=a11a22—а122=О, то из (*) следует, что -(a112/2) -(а222/2)=а122.. Значит, a11=a22=a12=0 – противоречие с тем, что уравнение (1) — уравнение кривой второго порядка.
Заметим, что если в уравнении (1) а12О, то путем поворота системы координат 0ХУ можно придти к уравнению вида (14)
Так как I1=а'11+а22О, I2=a'11а'22=О, то один из коэффициентов a'11 и а'22 равен нулю, а другой не равен нулю.
Будем считать, что а'11=О, а'220 (случай а'11О, a'22=0
рассматривается аналогично). Тогда I1=a'22 и уравнение (14)
можно записать так:
(25)
Осуществим теперь параллельный перенос:
, т.е.
. (26)
Тогда x"=x' и у"=у'+а'23/I1. Значит, в новой системе координат
О"Х"У" уравнение КВП примет вид:
(27)
где
Теорема 1.5.Пусть уравнение (1) — есть уравнение параболического типа. Тогда при I30 это уравнение параболы, а при I3=0 — это уравнение либо пары параллельных действительных прямых, либо пары мнимых параллельных прямых.
59
то из I2<0 следует а"11, и а"22 имеют разные знаки. Пусть а"11>0, а"22<О, тогда уравнение (18) можно записать так:
, при I3<0; (22)
, при I3=0; (23)
, при I3>0; (24)
Уравнение (22) задает гиперболу, симметричную относительно
оси О"Y".
Уравнение (23) можно переписать так:
– пара пересекающихся прямых в системе координат 0"Х"Y".
Уравнение (24) — каноническое уравнение гиперболы.
Случай, когда а11"<О, а22">0 рассматривается аналогично.
Теорема доказана.
Линии параболического типа
Пусть КВП задана уравнением вида (1) и является кривой
параболического типа, т.е. I2=О. Тогда I1О. Действительно,
если I1=а11+a22=О, то I12=а112+а222+2a11a22=О, т.е.
(*)
58
тантами. Если упорядоченная тройка векторов ,, является правой, то афинную систему называют правой, в противном случае - левой. В дальнейшем под афинной системой будем понимать правую систему. Если базисные векторы ,, попарно взаимно ортогональны, то афинная система координат называется декартовой (прямоугольной), а базисные векторы обозначается соответственно .
В частности, если даны точки А (х1,у1,z1), В (х2,у2,z2), то
Векторы = (х1,у1,z1) и = (х2,у2,z2) коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны, т.е.