Расстояние между скрещивающимися прямыми

Пусть прямые l₁ и l₂, заданные уравнениями вида (2), являются скрещивающимися. Тогда расстоянием d между ними называется длина перпендикуляра, проведенного из одно прямой на другую. Заметим, что искомое расстояние равно отрезку перпендикуляра, закаченного между плоскостями α₁ и α₂, где плоскости α₁ и α₂ одновременно параллельны векторам и, и проходят соответственно через прямыеl₁ и l₂

Тогда

Взаимное расположение прямой и плоскости

Пусть прямая l и плоскость α заданы соответственно уравнениями

, α: Ax + By + Cz + D = 0.

34

. (3)

По свойствам уравнения (3) исследуем свойства гиперболы:

1. Координатные оси являются осми симметрии гиперболы. Поэтому гиперболу достаточно исследовать только в первой координатной четверти.

2. Если у = 0, то x = а. Если х = 0, то уравнение (3)

решений не имеет. Значит, гипербола пересекает только ось ОХ в точках А₁(—а,0), А₂(а,0), называемых вершинами гиперболы.

3. Так как

|х|а. Поэтому гипербола расположена вне полосы, ограниченной прямыми x=а.

4. Если x возрастает от а до +, то из (1.12) следует, что у возрастает от 0 до + в первой координатной четверти.

5.

- наклонные асимптоты гиперболы.

По полученным свойствам строим гиперболу (рис.7). Отрезок А₁А₂ и его длина 2а называются действительной осью гиперболы, а отрезок ОА₁ и его длина а — действительной полуосью. Отрезок В₁В₂ и его длина 2b — мнимая ось гиперболы, а отрезок ОВ₁ и его длина b— мнимая полуось. Длина отрезка F₁F₂=2с называется фокусным расстоянием, начало координат — центр гиперболы.

x²—у²=а²

39

Определение. Эксцентриситетом эллипса называется число

Так как с<а, то 0<c<1. Заметим, что у окружности оба фокуса

совпадают, поэтому с = 0 и ε = 0.

.

Следовательно, эксцентриситет характеризует форму эллипса.

Используя понятия эксцентриситета, можно выразить фокальные радиусы произвольной точки M(x,у) эллипса:

r₁=а+εх, r₂=а—εх

Гипербола

Определение. Гиперболой называется множество точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек F₁ и F₂, называемых фокусами гиперболы, есть величина постоянная, равная 2а, а>0, меньшая чем расстояние между фокусами.

Выберем декартову прямо-угольную систему координат ОХY так, как показано на рисунке. Тогда F₁F₂=2с, F₁(—с,0), F₂(c,0).

Для произвольной точки М(х,у), принадлежащей гиперболе, имеем МF₁—MF₂=2а, а<с.

Обозначим с²-а²=b², тогда каноническое уравнение гипрболы имеет вид:

38

1) прямаяl лежит в плоскости α, если

Am + Bn + Ср = 0,

Аx₀ + Ву₀ + Cz₀ + D = 0.

2) прямая l параллельна плоскости α, если

Am + Bn + Ср = О,

Аx₀ + Ву₀ + Cz₀ + D ≠ 0.

3) прямая l пересекает плоскость α если

Am + Вn + Ср 0.

Угол между прямой и плоскостью

Углом между прямой l и плоскостью α называется угол φ, образованный прямой l и ее проекцией l₁ на плоскость α

Тогда и

.

35