Смешанное произведение векторов.

Определение. Смешанным произведением векторов ,,называется число, равное ()и обозначается.

Свойства смешанного произведения.

1) число || равно объему параллелепипеда, построенного на некомпланарных векторах,,, приведенных к общему началу. В этом состоит геометрический смысл смешанного произведения.

2) (необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов). Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.

3) ()=()

4)==.

10

14) пара мнимых пересекающихся плоскостей:

15) пара параллельных плоскостей: у²=а²(а0)

16) пара мнимых параллельных плоскостей: у²+а²=0 (а0);

17) пара совпадающих плоскостей: у²=0.

Уравнения 1) - 17) называются каноническими уравнениями поверхностей второго порядка .

Выделим некоторые общие типы поверхностей второго порядка.

Цилиндрические поверхности

Определение. Цилиндрической поверхностью называется множество параллельных прямых (образующих), проходящих через все точки некоторой линии, называемой направляющей.

Пусть цилиндрическая поверхность задана таким образом в прямоугольной системе координат OXYZ, что образующие этой

63

4) двуполостный гиперболоид

5) конус:

6) мнимый конус

7) эллиптический параболоид: z=ах²+by² (а,b >О);

8) гиперболический параболоид: z= - ax²+by² (а,b>0);

9) эллиптический цилиндр:

10) мнимый эллиптический цилиндр:

11) гиперболический цилиндр:

12) параболический цилиндр: у²=2рх;

13) пара пересекающихся плоскостей:

62

Линейная зависимость векторов.

Пусть дана система векторов

(1)

и α₁, α₂,...α_n - действительные числа. Тогда векторы вида

называются линeйнoй комбинaциeй вeктоpов cиcтeмы (1).

Определение. Система векторов (1) называется линейно зависимой, если существует такая линейная комбинация этих векторов, равная нулевому вектору, т.е.

= (2)

и хотя бы одно из чисел .

Определение. Система (1) называется линейно независимой, если равенство (2) возможно тогда и только тогда, когда все числа α_i=0.

Определение. Если какой-либо вектор можно представить в виде линейной комбинации векторов системы (1), т.е.

=,

то говорят, что вектор линейно выражается через векторы системы (1).

Теорема. Для того чтобы векторы системы (1) были линейно зависимы (n>1), необходимо и достаточно, чтобы по крайней мере один из них линейно выражался через остальные.

Следствие. Если векторы системы (1) линейно независимы, то ни один из них нельзя линейно выразить через остальные. В частности, ни один из них не может быть нулевым.

Теорема. Для того чтобы два вектора были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были коллинеарны.

Следствие.Два вектора линейно независимы тогда и только тогда, когда они неколлинеарны.

11

Теорема. Любой вектор на плоскости можно разложить по любым двум неколлинеарным векторамиэтой плоскости, т.е. представить в виде:

причем это разложение единственно.

Теорема. Для того чтобы три вектора были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были компланарны.

Следствие. Три вектора линейно независимо тогда и только тогда, когда они некомпланарны.

Теорема. Любой вектор можно разложить по трем некомпланарны векторам,и, т.е. представить в виде:

причем это разложение единственно.

Tеорема. Любые четыре вектора линейно зависимы.

Определение. Говорят, что два лежащих в плоскости α линейно- независимых вектора и(любые три линейно независимых вектора,и) образуют на этой плоскости (в пространстве)базис, если любой вектор, лежащий в этой плоскости α (любой вектор пространства), может быть представлен в виде линейной комбинации векторов и(,,).

Итак:

1) любая пара лежащих в данной плоскости неколлинеарнах векторов образует базис на этой плоскости;

2) любая тройка некомпланарных векторов образует базис в пространстве.