MuratovSamoylenko

Утверждение 5.3.13. Подпространства N(k)(A) обладают следующими свойствами.

(i)Подпространство N(k)(A) является инвариантным относительно оператора A, k > 2;

(ii)N(k)(A) N(k+1)(A), k > 2;

Доказательство. (i). Пусть x 2 N(k)(A). Тогда (A I)kx = 0. Следовательно,

(A I)kAx = A(A I)kx = 0:

Поэтому Ax 2 N(k)(A).

(ii). Пусть x 2 N(k)(A). Тогда (A I)kx = 0, откуда (A I)k+1x = 0, ò.å. x 2 N(k+1)(A).

Вектор x 2 V является присоединенным вектором k-го порядка оператора A 2 B(V), отвечающим собственному зна- чению , k > 1 тогда и только тогда, когда x 2 N(k+1)(A) n N(k)(A).

Доказательство. Необходимость. Докажем по индукции, что если x 2 V

является присоединенным вектором k-го порядка оператора A 2 B(V), то

(A I)k+1x = 0, à (A I)kx 6= 0.

1). Пусть x присоединенный вектор 1-го порядка оператора A. Тогда y = (A I)x собственный вектор оператора A. Следовательно, y = (A I)x 6= 0 и Ay = y. Таким образом,

(A I)2x = (A I)y = 0:

2). Допустим, что наше утверждение верно для присоединенного вектора y (k 1)-го порядка, т.е. (A I)ky = 0, à (A I)k 1y 6= 0.

3). Пусть теперь x присоединенный вектор k-го порядка. Тогда y = (A I)x присоединенный вектор (k 1)-го порядка. Следовательно,

(A I)ky = (A I)k+1x = 0;

è

(A I)k 1y = (A I)kx 6= 0:

Таким образом, если вектор x является присоединенным вектором k-го

порядка оператора A, отвечающим собственному значению , k > 1, то

x 2 N(k+1)(A) n N(k)(A).

81

Достаточность. Пусть x 2 N(k+1)(A) n N(k)(A). Тогда

x 2 N(k+1)(A) è x 2= N(k)(A):

Следовательно, вектор y = (A I)kx 6= 0 è

(A I)k+1x = (A I)y = 0:

Следовательно, y = (A I)kx собственный вектор оператора A и потому, в силу замечания 5.3.12, x присоединенный вектор k-го порядка.

Утверждение 5.3.15. Имеет место включение

(A I)N(k+1)(A) N(k)(A):

Доказательство. Пусть x 2 N(k+1)(A). Тогда (A I)k+1x = 0. Возможны

два случая.

1). (A I)kx = 0. Тогда x 2 N(k)(A) и, так как подпространство N(k)(A) инвариантно относительно оператора A, то (A I)x 2 N(k)(A).

2). (A I)kx 6= 0. Тогда

x 2 N(k+1)(A) n N(k)(A)

и, в силу утверждения 5.3.14, x присоединенный вектор k-го порядка. Но тогда вектор (A I)x является присоединенным вектором (k 1)-го порядка и потому (A I)x 2 N(k)(A).

Утверждение 5.3.16. Цепь подпространств

N(1)(A) N(2)(A) N(k)(A) N(k+1)(A) : : :

конечна, т.е. существует такое p 6 n, что

N(p)(A) = N(p+1)(A) : : : :

Доказательство. Так как N(k)(A) N(k+1)(A), k > 1, то размерности подпространств N(k)(A) могут только увеличиваться. Так как dim V = n,

то для какого-то p 6 n впервые получится равенство:

N(p)(A) = N(p+1)(A):

Покажем, что тогда

N(p)(A) = N(p+1)(A) = N(p+2)(A) : : : :

82

Предположим противное:

N(p)(A) = = N(p+j)(A) N(p+j+1)(A);

причем

N(p+j+1)(A) n N(p+j)(A) 6= ;:

Тогда существует такой ненулевой вектор x 2 V, что x 2 N(p+j+1)(A) è x 62N(p+j)(A). Следовательно,

(A I)p+j+1x = 0 è (A I)p+jx 6= 0:

Рассмотрим вектор y = (A I)jx 6= 0. Òàê êàê

(A I)p+1y = (A I)p+j+1x = 0

è

(A I)py = (A I)p+jx 6= 0;

òî

y 2 N(p+1)(A) è y 62N(p)(A)

вопреки равенству N(p)(A) = N(p+1)(A). Непосредственно из утверждения 5.3.16 получаем:

Следствие 5.3.17. Пусть A линейный оператор.

(i)Для каждого собственного значения оператора A однозначно определена конечная цепь инвариантных подпространств

f0g N(1)(A) N(p)(A); p 6 n;

причем все члены этой цепи различны;

(ii)Подпространство N(p)(A) порождено собственными и присоединенными векторами оператора A, отвечающими собственному значе- нию ;

(iii)Индуцированный оператор A N(p) имеет единственное собственное значение .

Обозначим

M(p)(A) = Ran(A I)p:

Òàê æå êàê è N(p)(A), подпространство M(p)(A) инвариантно относительно оператора A.

83

Теорема 5.3.18. Подпространства M(p)(A) обладают следующими свойствами.

(i) Пространство V является прямой суммой инвариантных подпро-

странств

V = N(p)(A) u M(p)(A);

(ii) В подпространстве M(p)(A) оператор (A I) обратим.

Доказательство. (i). Так как

N(p)(A) = Ker(A I)p; M(p)(A) = Ran(A I)p;

то в силу теоремы 2.2.2,

dim N(p)(A) + dim M(p)(A) = dim V = n:

Поэтому достаточно показать, что

N(p)(A) \ M(p)(A) = f0g:

Допустим противное, т.е. пусть существует ненулевой вектор

y 2 N(p)(A) \ M(p)(A):

Òàê êàê y 2 N(p)(A), òî (A I)py = 0: С другой стороны, так как y 2 M(p)(A), то существует такой ненулевой вектор x, что

(A I)px = y 6= 0:

Тогда

(A I)2px = (A I)py = 0:

Таким образом, существует такой ненулевой вектор x, что

x 2 N(2p)(A) n N(p)(A);

что невозможно. Следовательно,

N(p)(A) \ M(p)(A) = f0g;

и потому

V = N(p)(A) u M(p)(A):

84

(ii). Допустим, что на подпространстве M(p)(A) оператор (A I) необратим. Тогда существует ненулевой вектор x 2 M(p)(A), такой что

(A I)x = 0:

Следовательно, (A I)px = 0, и значит x 2 N(p)(A), т.е. ненулевой вектор x принадлежит одновременно подпространствам N(p)(A) è M(p)(A), что невозможно. Следовательно, оператор (A I) обратим в подпространстве

M(p)(A).

Замечание 5.3.19. Если подпространство M(p)(A) 6= f0g, то оператор A имеет на M(p)(A) по крайней мере еще одно собственное значение , от-

личное от . Этому собственному значению соответствует своя конечная цепь инвариантных подпространств

f0g N(1)(A) N(q)(A);

где все члены этой цепи различны.

Упражнение 5.3.20. Åñëè ; 2 (A), 6= ,

f0g N(1)(A) N(p)(A);

è

f0g N(1)(A) N(q)(A);

соответствующие цепи инвариантных подпространств, то

N(i)(A) \ N(j)(A) = f0g

для любых i = 1; : : : ; p, j = 1; : : : ; q.

Теорема 5.3.21. Если оператор A имеет k различных собственных зна-

чений:

(A) = f 1; : : : ; kg;

то пространство V можно разложить в прямую сумму инвариантных подпространств

где каждое из подпространств N(pi)(A) состоит из собственных и присо-

i

единенных векторов оператора A, отвечающих собственному значениюi, i = 1, . . . , k.

85

Доказательство. Пусть

конечная цепь инвариантных подпространств, отвечающих собственному значению i. По теореме 5.3.18 пространство V представимо в виде

ственных значений 1 è 2. Продолжая процесс, пока не будут исчерпаны все собственные значения оператора A, мы получим доказываемое разло-

5.4Операторный многочлен и инвариантные подпространства

Пусть A 2 B(V). Рассмотрим гомоморфизм

A : P[C] ! B(V)

алгебры многочленов P[C] в алгебру операторов B(V), который каждому

многочлену

p(z) = a0 + a1z + + amzm

ставит в соответствие оператор

p(A) = a0I + a1A + + amAm:

Этот оператор называется операторным многочленом или многочленом от оператора A.

86

Множество

(A) = fp(A) : p(z) = a0 + a1z + + amzm; m = 1; 2; : : : g

всех операторных многочленов от A является коммутативной подалгеброй алгебры B(V). В частности,

p(A)A = A p(A)

для любого многочлена p(z) 2 P[C].

Ясно, что любое линейное подпространство M, инвариантное относительно оператора A, является инвариантным и относительно операторного многочлена p(A).

Так как p(A) 2 B(V), то образ Rp(A) = Ran p(A) è ÿäðî Kp(A) = Ker p(A) оператора p(A) являются линейными подпространствами в V.

Утверждение 5.4.1. Линейные подпространства Rp(A) è Kp(A) являют- ся инвариантными относительно оператора A.

Доказательство. 1). Пусть y 2 Rp(A). Тогда y = p(A)x для некоторого x 2 V. Следовательно

Ay = A p(A)x = p(A)Ax = p(A)(Ax) 2 Rp(A):

2). Пусть x 2 Kp(A). Тогда p(A)x = 0. Следовательно, p(A)(Ax) = A p(A)x = A(0) = 0;

ò.å. Ax 2 Kp(A).

Как отмечалось ранее, в любом ненулевом инвариантном подпространстве оператора A содержится по крайней мере один собственный вектор.

Имеет место более общее утверждение.

Утверждение 5.4.2. Пусть p(z) = a0 + a1z + + amzm è 2 (A).

(i)Åñëè p( ) = 0, òî N (A) Kp(A);

(ii)Åñëè p( ) 6= 0, òî N (A) Rp(A).

Доказательство. Пусть 2 (A) и x 6= 0 соответствующий собственный вектор: Ax = x: Тогда

p(A)x = (a0I + a1A + + amAm)x =

=a0x + a1Ax + + amAmx =

=a0x + a1 x + + am mx =

=(a0 + a1 + + am m)x = p( )x:

87

Следовательно, x собственный вектор оператора p(A), отвечающий собственному значению p( ).

(i). Пусть p( ) = 0. Тогда

p(A)x = p( )x = 0;

ò.å. x 2 Kp(A).

(ii). Пусть p( ) 6= 0. Тогда

x = p(A) p(1 )x ;

ò.å. x 2 Rp(A).

Замечание 5.4.3. Утверждение, что любое инвариантное подпространство оператора A является любо ядром, либо областью значений некоторого

операторного многочлена, неверно. Пусть например, A = I. Тогда для любого многочлена p(z) имеем

p(I) = p(1)I:

Поэтому оператор p(I) либо нулевой, либо невырожденный. Следовательно, область значений и ядро оператора p(I) представляют собой тривиаль-

ные подпространства. В свою очередь, инвариантным подпространством оператора I является любое подпространство.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 5.4.4. Пусть M инвариантное подпространство оператора A. Если все собственные значения индуцированного на M оператора A M являются корнями многочлена p(z), то существует такое k0, ÷òî

M Kpk(A)

для всех натуральных значений k > k0.

Доказательство. Так как M инвариантное подпространство оператора A, то M инвариантно относительно каждого операторного многочлена pk(A), k = 1; 2; : : : . Рассмотрим операторы

p(A) M; p2(A) M; p3(A) M; : : :

и обозначим образы этих операторов через

R01 = Ran(p(A) M); R02 = Ran(p2(A) M); : : :

88

Так как p( ) = 0 для любого 2 (A M) (A), òî

N (A) Kp(A)

и поэтому оператор p(A) является вырожденным на M. Следовательно,

R01 M è dim R01 < dim M:

Подпространство R01 является инвариантным относительно A. Если R01 ненулевое, то согласно теореме 5.1.3, характеристический много-

член оператора A R01 , является делителем характеристического многочле- на оператора A M. Следовательно, все собственные значения оператора A R01 являются корнями многочлена p(z). Но тогда, как и выше,

R02 R01 è dim R02 < dim R01:

Продолжая процесс, получим, что

dim M > dim R01 > dim R02 > : : : :

Но размерности подпространств R01; R02; : : : не могут убывать неограни- чено. Следовательно, существует такое k0, начиная с которого все эти под- пространства будут нулевыми. Но это и означает, что M Kpk(A) äëÿ âñåõ натуральных значений k > k0.

Теорема 5.4.5. Если dim V = n, то любой оператор A 2 B(V) имеет по крайней мере одно инвариантное подпространство размерности (n 1).

Доказательство. Оператор A имеет по крайней мере один собственный вектор x. Пусть он соответствует собственному значению 2 (A). Для многочлена

p(z) = + z

имеем:

p(A) = I + A = A I:

Образ

Rp(A) = Ran p(A) = Ran(A I)

является инвариантным относительно оператора A подпространством. Но det[A I] = PA( ) = 0:

89

Поэтому оператор (A I) вырожден. Следовательно,

dim Rp(A) 6 n 1:

Пусть M произвольное линейное подпространство V, такое, что

Rp(A) M; dim M = n 1:

Òàê êàê Rp(A) = p(A)V, òî

p(A)M Rp(A) M:

Следовательно, M инвариантно относительно p(A) и поэтому инвариантно относительно A.

5.5Треугольная форма Шура матрицы линейного оператора

Теорема 5.5.1. Для любого линейного оператора A, действующего в n-мерном векторном пространстве V, существует максимальная цепь инвариантных подпространств:

f0g = M0 M1 Mk Mn 1 Mn = V;

где подпространства M0; M1; : : : ; Mk; : : : ; Mn имеют размерности k = 0, 1, . . . , n.

Доказательство. Существование у оператора A инвариантных подпространств M0 = f0g размерности 0 и Mn = V размерности n очевидна. Согласно теореме 5.4.5, оператор A имеет инвариантное подпространство Mn 1 размерности (n 1).

Рассмотрим теперь на инвариантном подпространстве Mn 1 индуциро-

ванный оператор A Mn 1 . Как и любой другой оператор из B(Mn 1), îí, согласно той же теореме 5.4.5, имеет инвариантное подпространство Mn 2

размерности (n 2). Но подпространство Mn 2, инвариантное для индуци-

рованного оператора A Mn 1 , будет инвариантным и для порождающего оператора A. Таким образом, существование инвариантного подпростран-

ñòâà Mn 2 размерности (n 2), такого, что

f0g = M0 Mn 2 Mn 1 Mn = V;

90