MuratovSamoylenko

Поэтому оператор X в жордановом базисе оператора A имеет вид

с соответствующим разбиением на блоки. Так как AX = XA, то мы имеем следующую систему:

Jm( )X11 = X11Jm( );

Jm( )X12 = X12Jm( );

Jm( )X21 = X21Jm( );

Jm( )X22 = X22Jm( ):

131

Òàê êàê 6= , òî X12 = X21 = 0. Поэтому оператор X в жордановом базисе оператора A имеет вид

с соответствующим разбиением на блоки. Так как AX = XA, то мы имеем следующую систему:

Jm( )X11 = X11Jm( );

Jm( )X12 = X12Jn( );

Jn( )X21 = X21Jm( );

Jn( )X22 = X22Jn( ):

Òàê êàê 6= , òî X12 = X21 = 0. Поэтому оператор X в жордановом базисе оператора A имеет вид

132

Замечание 6.6.4. Если A 2 B(V), то для любого многочлена p(z) оператор p(A) коммутирует с A:

[A; p(A)] = Ap(A) p(A)A = 0:

Пусть теперь заданы операторы A; B 2 B(V) и известно, что они коммутируют. В этом случае совсем не обязательно, чтобы оператор B был многочленом от A. Это не так, например, для A = I, которая коммутирует с любой матрицей, а p(A) = p(I) = p(1)I не может быть нескалярным оператором.

Определение 6.6.5. Оператор A 2 B(V) называется оператором с про-

стым спектром, если любое его собственное значение имеет геометриче- скую кратность, равную 1.

Если J(A) матрица Жордана оператора A, то геометрическая кратность собственного значения равна числу отвечающих ему жордановых клеток. Поэтому оператор A оператор с простым спектром тогда и толь-

ко тогда, когда для каждого его собственного значения имеется только одна жорданова клетка Jk( ). Оператор A оператор с простым спектром, если, например, он имеет n различных собственных значений или

если собственное значение только одно и его геометрическая кратность равна 1.

Теорема 6.6.6. Если A 2 B(V) оператор с простым спектром, то оператор B 2 B(V) коммутирует с A в том и только в том случае, когда B = p(A) для некоторого многочлена p(z) степени не выше (n 1).

Доказательство. Если B = p(A) для некоторого многочлена p(z) степени не выше (n 1), то, конечно, A коммутирует с B. Докажем обратное. Пусть [A] матрица оператора A в некотором базисе, J = J(A) его матрица

Жордана и

[A] = SJS 1:

Åñëè AB = BA, òî

BSJS 1 = SJS 1B

133

è

(S 1BS)J = J(S 1BS):

Если мы докажем, что S 1BS = p(J), то будет

ãäå 1, . . . , r различные собственные значения оператора A. Для оператора B рассмотрим блочное разбиение B = [Bij], согласованное с данным разбиением матрицы J(A):

Òàê êàê AB = BA, òî

Jni ( i)Bij = BijJnj ( j); i 6= j:

Собственные значения i è j матриц Jni( i) è Jnj ( j) различны, поэтому

Bij = 0 при i 6= j. Следовательно, матрица B имеет блочно-диагональный вид:

0Brr

ãäå Bii 2 Mni (C). В силу предположения о коммутативности,

Jni( i)Bii = BiiJni( i)

для всех i = 1, . . . , r. Поэтому матрицы Bii должны быть верхнетреуголь- ными т¼плицевыми матрицами:

134

Если мы для каждого i = 1, . . . , r построим многочлен pi(z) степени не выше (n 1) такой, что

то многочлен

p(z) = p1(z) + + pr(z)

будет искомым. Положим

Несмотря на то, что матрица qi(Jni( i)) может и не совпадать с Bii, она невырожденная (все j различны), и, как и каждый многочлен от

клетки Жордана Jni ( i), принадлежит алгебре Tn(C) верхнетреугольных т¼плицевых матриц. Для любой такой матрицы обратная матрица тоже принадлежит Tn(C) и произведение матриц из Tn(C) также принадлежит

Tn(C). Поэтому матрица

[qi(Jni( i))] 1Bii

есть верхнетреугольная т¼плицева матрица. Любую такую матрицу можно записать как многочлен от Jni( i). Действительно, например для матрицы Bii имеем:

Таким образом, имеется многочлен ri(z) степени не выше (ni 1) такой,

÷òî

[qi(Jni( i))] 1Bii = ri(Jni( i)):

Если теперь положить

pi(z) = qi(z)ri(z);

то получим многочлен степени не выше (n 1), для которого при i 6= j будем иметь

pi(Jnj ( j)) = qi(Jnj ( j)) ri(Jnj ( j)) = 0 ri(Jnj ( j)) = 0

è

pi(Jni( i)) = qi(Jni ( i)) ri(Jni( i)) = Bii:

135

Замечание 6.6.7. Доказанная теорема позволяет охарактеризовать операторы с простым спектром: оператор A 2 Mn(C) является оператором с простым спектром тогда и только тогда, когда любой оператор, коммутирующий с A, является многочленом от A.

Упражнение 6.6.8. Если A и B такие операторы из B(V), что любой оператор C 2 B(V), коммутирующий с оператором A, коммутирует и с оператором B, то B = g(A) для некоторого многочлена g(z) 2 P[C].

6.7Функции от операторов

Пусть A 2 B(V) и f(z) некоторая функция скалярного аргумента:

f : C ! C:

Рассмотрим вопрос о том, что следует понимать под функцией f(A) от оператора A.

Если f(z) многочлен из P[C]:

f(z) = p(z) = a0 + a1z + + akzk;

òî

f(A) = p(A) = a0I + a1A + + akAk:

Определим оператор f(A) в общей ситуации. Для этого рассмотрим характеристический многочлен PA(z) оператора A:

PA(z) = ( 1)n(z 1)k1 : : : (z s)ks;

ãäå 1, . . . , s попарно различные собственные значения, кратности которых равны k1, . . . , ks, è

k1 + + ks = n = dim V:

Пусть

QA(z) = (z) = (z 1)m1 : : : (z s)ms

минимальный многочлен оператора A, степень которого

m1 + + ms = m 6 n = dim V:

Если многочлены g(z) и h(z) удовлетворяют равенству:

g(A) = h(A);

136

то их разность d(z) = g(z) h(z) является аннулирующим многочленом оператора A, и потому делится на минимальный многочлен (z). Таким образом,

d( 1) = 0; d0( 1) = 0; : : : ; d(m1 1)( 1) = 0;

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

d( s) = 0; d0( s) = 0; : : : ; d(ms 1)( s) = 0;

поэтому в точках i значения полиномов g, h и их производных до порядка mi 1 совпадают.

Определение 6.7.1. Если для функции f(z) существуют числа

ff( k); f0( k); : : : ; f(mk 1)( k); k = 1; : : : ; sg;

то они называются значениями функции f(z) на спектре (A) = f 1; :::; sg оператора A; этот набор обозначается f( (A)). В таком случае говорят, что функция f(z) определена на спектре (A) оператора A.

Замечание 6.7.2. Следующие свойства следуют прямо из определения.

Если g(A) = h(A), то многочлены g(z) и h(z) имеют одни и те же значения на спектре оператора A: g( (A)) = h( (A)):

Åñëè g( (A)) = h( (A)), òî g(A) = h(A).

Если задан оператор A, то многочлены g(z), принимающие они и те же значения на спектре оператора A, определяют один и тот же оператор g(A).

Таким образом, чтобы определение функции f(A) от оператора A в общем случае подчинялось таким же условиям, значения функции f(z) на спектре (A) оператора A должны полностью определять оператор f(A), т.е. функции f(z), имеющие одни и те же значения на спектре (A) оператора A должны определять один и тот же оператор f(A). Но тогда, очевидно, для определения f(A) в общем случае достаточно найти такой многочлен g(z), который принимал бы те же значения на спектре (A) оператора A, что и функция f(z), и положить

f(A) = g(A):

Определение 6.7.3. Если функция f(z) определена на спектре (A) оператора A, то

f(A) = g(A):

137

для любого многочлена g(z), который принимает те же значения на спектре (A), что и функция f(z):

f( (A)) = g( (A)):

Утверждение 6.7.4. Пусть A 2 B(V),

QA(z) = (z) = (z 1)m1 : : : (z s)ms

минимальный многочлен оператора A, степень которого

m1 + + ms = m 6 n = dim V;

и f(z) функция, определенная на спектре (A) оператора A. Тогда существует единственный многочлен r(z) 2 P[C] степени меньше m, который принимает те же значения на спектре (A) оператора A, что и f(z).

Доказательство. Рассмотрим множество

Pf = fg(z) 2 P[C] : g( (A)) = f( (A))g:

Пусть g(z) 2 Pf . Разделим его с остатком на минимальный многочлен

(z):

g(z) = q(z) (z) + r(z):

Тогда

f( 1) = g( 1) = r( 1); f0( 1) = g0( 1) = r0( 1);

: : : : : : : : : : : : : : : : : :

f(m1 1)( 1) = g(m1 1)( 1) = h(m1 1)( 1);

: : : : : : : : : : : : : : : : : :

f( s) = g( s) = h( s); f0( s) = g0( s) = h0( s);

: : : : : : : : : : : : : : : ;

f(ms 1) = g(ms 1)( s) = h(ms 1)( s);

и степень многочлена r(z) меньше m. Многочлен r(z) определяется приведенными интерполяционными условиями однозначно.

138

Определение 6.7.5. Многочлен r(z) называется интерполяционным многочленом Лагранжа-Сильвестра для функции f(z) на спектре оператора A.

Замечание 6.7.6. Если функция f(z) определена на спектре (A) оператора A, то f(A) = r(A):

Рассмотрим несколько примеров построения оператора f(A).

139

Òàê êàê

Jn( ) = I + Jn(0);

òî

Теорема 6.7.9. Функции от операторов обладают следующими свойствами.

(i)Пусть A 2 B(V) и f(z) функция, определенная на спектре оператора A. Если (A) = f 1; : : : ; sg, òî

(f(A)) = ff( 1); : : : ; f( s)g:

140