MuratovSamoylenko

Упражнение 4.3.10. Если операторы A и B подобны и A оператор простой структуры, то оператор B тоже оператор простой структуры. При этом, если

B= S 1AS;

èfekgnk=1 собственный базис оператора A, òî fS 1ekgnk=1 собственный базис оператора B, причем собственные значения, которым соответствуют

векторы ek è S 1ek, равны.

Упражнение 4.3.11. Пусть матрицы операторов A и B в некотором базисе имеют вид:

Оба эти оператора имеют собственное значение 0 кратности 2, но не подобны.

Замечание 4.3.12. Операторами простой структуры не исчерпывается все множество B(V) линейных операторов в V.

и m > 1, то оператор A не является оператором простой структуры для любого 2 C.

Доказательство. Если бы оператор A = Jm( ) был оператором простой

структуры, то

Jm( ) = S S 1;

где диагональная матрица. Тогда = I. Действительно, поскольку характеристические многочлены подобных матриц совпадают, то

P (z) = PJn( )(z) = ( z)n

и является собственным числом матрицы кратности n. Таким образом,= I. Поэтому

Jm( ) I = S S 1 I = I I = 0;

а это невозможно при m > 1.

71

Глава 5

Треугольная форма Шура

5.1Индуцированный оператор

Пусть линейное подпространство M V является инвариантным относительно линейного оператора A 2 B(V). Если x 2 M, то Ax 2 M. Сле-

довательно, оператор A порождает на M оператор A M, определяемый равенством

A Mx = Ax; x 2 M:

Оператор A M называется индуцированным оператором, порожденным оператором A или сужением оператора A на подпространство M. По от-

ношению к оператору A M оператор A называется порождающим. Ясно, что A M 2 B(M).

Замечание 5.1.1. Любое собственное значение индуцированного оператора A M является собственным значением порождающего оператора A.

Следствие 5.1.2. Если пространство V разложено в прямую сумму r инвариантных относительно линейного оператора A 2 B(V) подпространств, то оператор A имеет по крайней мере r линейно независимых собственных векторов.

Теорема 5.1.3. Пусть оператор A 2 B(V) имеет нетривиальное инвариантное подпространство M. Тогда характеристический многочлен

индуцированного оператора A M

ского многочлена оператора A.

Доказательство. Пусть оператор A обладает нетривиальным инвариантным подпространством M. Выберем такой базис

fe1; : : : ; ek; ek+1; : : : ; eng

72

пространства V, первые k векторов которого образуют базис в подпространстве M. Тогда матрица оператора A в базисе имеет вид

!

[A11] [A12] [A] = ;

0[A22]

причем матрица [A11] есть матрица индуцированного оператора A M. Ñëå- довательно,

= det[A11 I11] det[A22 I22] = PA M( )Q( ):

5.2Спектр оператора

Определение 5.2.1. Множество (A) собственных значений оператора A 2 B(V) называется спектром оператора A.

Упражнение 5.2.2. Если операторы A и B из B(V) подобны, то

(A) = (B):

Исследование спектра и связанной с ним структуры оператора является предметом спектральной теории операторов. Отметим, что в силу теоремы 4.2.3, (A) 6= ; для любого оператора A 2 B(V).

n

Теорема 5.2.3. Åñëè A 2 B(V) è p(z) = P kzk, òî

k=0

(p(A)) = fp( ): 2 (A)g:

Доказательство. Если p(z) 0, то очевидно,

(p(A)) = 0 = fp( ): 2 (A)g:

Пусть теперь n > 1, 2 (A) и 0 6= x 2 V соответствующий собственный вектор. Тогда

n

X

p(A)x = kAkx = 0x + 1Ax + + nAnx:

k=0

73

Íî

Akx = Ak 1Ax = Ak 1x = = kx; k = 1; : : : ; n:

Поэтому

p(A)x = 0x + 1 x + + n nx = ( 0 + 1 + + n n)x = p( )x:

Следовательно, p( ) 2 (p(A)).

Обратно, если 62 pf( ): 2 (A)g, n 6= 0 è 1; : : : ; n все корни полинома (p(z) ), то p( i) = , i = 1; : : : ; n и потому 1; : : : ; n 62 (A). Òàê êàê

p(A) I = n(A 1I) : : : (A nI);

то оператор (p(A) I) обратим. Следовательно, 62 (p(A)).

Доказательство. Так как p(A) = 0, то (p(A)) = f0g. Поэтому, если 2(A), то p( ) 2 (p(A)), откуда следует, что p( ) = 0.

Утверждение 5.2.5. Для любых операторов A, B 2 B(V)

(AB) = (BA):

Доказательство. 1). Докажем сначала, что если 6= 0, то операторы (AB I) и (BA I) обратимы или необратимы одновременно.

Пусть оператор (AB I) обратим и C = (AB I) 1. Тогда

(AB I)C = C(AB I) = I;

откуда

ABC = CAB = C + I:

Умножим последнее равенство слева на оператор B, а справа на оператор A. Получим

BABCA = BCABA = BCA + BA;

èëè

BABCA ( BCA + BA) = BCABA ( BCA + BA) = 0:

74

Тогда

I = I + BABCA ( BCA + BA) = (BA I)(BCA I):

Аналогично

I = I + BCABA ( BCA + BA) = (BCA I)(BA I):

Следовательно, оператор (BA I) обратим и

(BA I) 1 = 1 (BCA I):

2). Пусть теперь = 0. Докажем, что и в этом случае операторы AB и BA обратимы или необратимы одновременно.

Пусть, например, оператор AB обратим. Тогда

AB(AB) 1 = A(B(AB) 1) = I:

Следовательно, Ran A = V. Но тогда, в силу теоремы 2.3.3, оператор A

обратим и

BA = A 1ABA = A 1(AB)A;

т.е. операторы AB и BA подобны, и потому оператор BA обратим.

Упражнение 5.2.6. Докажите следующие утверждения.

Если dim V = n, то для любого множества комплексных чисел, содержащего не более n элементов, существует такой оператор A 2 V, что (A) = .

Пусть M нетривиальное инвариантное подпространство оператора A. Тогда

(A) = (A M) [ (A=M):

Пусть P 2 = P идемпотентный оператор. Доказать, что (P ) f0; 1g.

Оператор S 2 B(V) называется инволюцией, если S2 = I. Если S инволюция, то (S) f1; 1g.

Утверждение 5.2.7. Если P 2 B(V) идемпотентный оператор, то

tr P = dim(Ran P ) = rg P:

75

Доказательство. Каждый идемпотент есть оператором простой структуры (упражнение 4.3.9) и его спектр содержится в f0; 1g (упражнение 5.2.6).

Тогда в пространстве V существует базис, в котором матрица оператора P диагональная и имеет вид

Очевидно, что след этой матрицы равен размерности собственного подпространства, отвечающего собстенному значению 1, которое совпадает с образом оператора.

Следствие 5.2.8. Åñëè : Mn(C) ! Mm(C) линейный гомоморфизм, отображающий единицу в единицу, т.е.

([A][B]) = [A] [B]; (In) = Im;

то существует такое натуральное число p, что

m = np:

Доказательство. Пусть f[Eij]gni;j=1 канонический базис в Mn(C). Â ñè- лу утверждения 3.3.1 и следствия 3.3.2, для любого k = 1; : : : ; n

( [Ekk])2 = ([Ekk][Ekk]) = [Ekk];

ò.å. [Ekk] идемпотент. Далее

[Ekk] [Ejj] = ([Ekk][Ejj]) = ( kj[Ekk]) = kj [Ekk]:

Кроме того, в силу утверждения 3.3.5, [Ekk] è [Err] подобны, т.е. существует такая обратимая матрица [C], что

[Err] = [C] 1[Ekk][C]:

Поэтому

[Err] = ([C] 1[Ekk][C]) = ([C] 1) [Ekk] [C];

76

ò.å. [Ekk] è [Err] тоже подобны. Следовательно, в силу утверждения 5.2.7,

tr( [Err]) = dim(Ran [Err]) = dim(Ran [Ekk]) = tr( [Ekk]):

Обозначим tr( [Ekk]) = p. Òàê êàê

XX

[Ekk] = [Ekk] = (In) = Im;

k=1 k=1

XX

Определение 5.2.9. Оператор A 2 B(V) называется одноточечным, если его спектр состоит из одной точки. При этом говорят, что оператор A

сосредоточен в этой точке.

Одноточечным оператором является скалярный оператор I. Однако,

как показывает замечание 4.3.3, не всякий одноточечный оператор является скалярным.

Упражнение 5.2.10. Для того, чтобы оператор A 2 B(V) был одноточечным, сосредоточенным в точке , необходимо и достаточно, чтобы существовало такое натуральное число r > 0, что (A I)r = 0.

5.3Собственные и присоединенные векторы линейного оператора

Определение 5.3.1. Пусть собственное значение оператора A 2 B(V). Подпространство

N(1) = N = N (A) = Ker(A I)

называется собственным подпространством оператора A, соответствующим собственному значению . Размерность dim N называется геомет- рической кратностью собственного значения .

Упражнение 5.3.2. Если операторы A и B подобны, то геометрические

кратности соответствующих собственных значений этих операторов равны:

dim N (A) = dim N (B):

77

Замечание 5.3.3. Имеют место следующие свойства.

Подпространство N(1)(A) = N (A) состоит из всех собственных векторов оператора A, отвечающих собственному значению , к которым добавлен нулевой вектор 0.

Собственными векторами операторов 0, I и I будут все ненулевые векторы пространства V. Эти операторы имеют по одному собственному значению, равному соответственно 0, 1 и и, следовательно, по одному собственному подпространству, совпадающему с V.

Упражнение 5.3.4. Собственное подпространство N = N (A) является инвариантным относительно оператора A.

Упражнение 5.3.5. Докажите следующие утверждения.Если операторы A и B коммутируют:

[A; B] = AB BA = 0;

и 2 (A), то подпространство N (A) инвариантно относительно оператора B:

B(N (A)) N (A):

Åñëè (A) = f 1; : : : ; rg, ãäå i 6= j ïðè i 6= j, òî

r

X

dim N k (A) 6 n;

k=1

Оператор A имеет простую структуру тогда и только тогда, когда

r

X

dim N k (A) = n:

k=1

Åñëè

N 1 (A) u u N r (A) = V

и подпространства N k (A) инвариантны относительно оператора B:

B(N k (A)) N k (A);

то операторы A и B коммутируют.

78

Определение 5.3.6. Вектор x 2 V называется присоединенным вектором 1-го порядка оператора A 2 B(V), отвечающим собственному значе- нию , если x 2= N (A) и вектор

y = (A I)x 2 N (A);

т.е. является собственным вектором оператора A с тем же собственным значением.

Обозначим

N(2) = N(2)(A) = Ker(A I)2:

Замечание 5.3.7. Пусть e2 присоединенный вектор 1-го порядка оператора A 2 B(V), отвечающий собственному значению . Тогда вектор e1 = (A I)e2 собственный вектор оператора A. Следовательно,

Ae2 = e2 + e1;

т.е. присоединенный вектор 1-го порядка почти собственный вектор оператора A с точностью до собственного вектора e1.

Утверждение 5.3.8. Подпространство N(2)(A) инвариантно относительно оператора A.

Доказательство. Пусть x 2 N(2)(A). Тогда (A I)2x = 0. Следователь-

íî,

(A I)2Ax = A(A I)2x = 0:

Поэтому Ax 2 N(2)(A).

Упражнение 5.3.9. Если операторы A и B коммутируют:

[A; B] = AB BA = 0;

и 2 (A), то подпространство N(2)(A) инвариантно относительно оператора B:

B(N(2)(A)) N(2)(A):

Утверждение 5.3.10. Имеют место следующие свойства.

(i)N(1)(A) N(2)(A);

(ii)Åñëè x 2 N(2)(A) n N(1)(A), то x присоединенный вектор оператора A 1-го порядка, отвечающий собственному значению .

79

Доказательство. (i). Пусть x 2 N(1)(A). Тогда (A I)x = 0, откуда (A I)2x = 0, ò.å. x 2 N(2)(A).

(ii). Пусть x 2 N(2)(A)nN(1)(A). Тогда (A I)2x = 0, но (A I)x 6= 0. Следовательно, вектор y = (A I)x является собственным вектором

оператора A, отвечающим собственному значению . Следовательно, x присоединенный вектор 1-го порядка.

Определение 5.3.11. Вектор x 2 V называется присоединенным вектором k-го порядка оператора A 2 B(V), отвечающим собственному значе- нию , k > 2, если вектор

y = (A I)x

является присоединенным вектором (k 1)-го порядка.

Замечание 5.3.12. Отметим следующие полезные свойства присоединенных векторов.

Åñëè e3 присоединенный вектор 2-го порядка оператора A 2 B(V), отвечающий собственному значению , то вектор e2 = (A I)e3 присоединенный вектор 1-го порядка оператора A. Следовательно,

Ae3 = e3 + e2;

т.е. присоединенный вектор 2-го порядка почти собственный век-

тор оператора A с точностью до присоединенного вектора e2 1-го порядка.

Åñëè ek+1 присоединенный вектор k-го порядка оператора A 2 B(V), отвечающий собственному значению , то вектор ek = (AI)ek+1 присоединенный вектор k 1-го порядка оператора A.

Следовательно,

Aek+1 = ek+1 + ek;

т.е. присоединенный вектор k-го порядка почти собственный век-

тор оператора A с точностью до присоединенного вектора ek k 1-го порядка.

Вектор x 2 V является присоединенным вектором k-го порядка оператора A 2 B(V), отвечающим собственному значению , k > 2, если вектор (A I)kx собственный вектор оператора A.

Обозначим

N(k) = N(k)(A) = Ker(A I)k:

80