MuratovSamoylenko

Глава 3

Алгебры B(V) è Mn(C)

3.1Понятие алгебры. Идеал. Фактор-алгебра

Определение 3.1.1. Множество A называется алгеброй, если

(i)A векторное пространство над полем C;

(ii)В векторном пространстве A определено умножение

A A 3 (a; b) ! ab 2 A

со свойствами:

(ab) = ( a)b = a( b), a; b 2 A, 2 C;

(ab)c = a(bc), a; b; c 2 A;

Определение 3.1.2. Линейное подпространство B алгебры A называется

подалгеброй, если оно является алгеброй относительно операций, введенных в A.

Таким образом, подпространство B алгебры A является подалгеброй, если из a; b 2 B следует, что ab 2 B:

B B B:

Замечание 3.1.3. Если B подалгебра алгебры A, а L подалгебра B, то L является подалгеброй A.

41

Определение 3.1.4. Размерностью алгебры A называется векторная размерность A. Размерность алгебры A обозначается dim A.

Определение 3.1.5. Алгебра A называется коммутативной, или абелевой, если умножение коммутативно, т.е. ab = ba для любых a; b 2 A. В противном случае алгебра A называется некоммутативной.

Определение 3.1.6. Если в алгебре A существует элемент e такой, что для любого a 2 A

ae = ea = a;

то A называется алгеброй с единицей e.

Определение 3.1.7. Множество

Z(A) = fa : ab = ba для любого b 2 Ag

называется центром алгебры A.

Приведем простейшие примеры алгебр.

Пусть V произвольное линейное пространство. Полагая xy = 0 для любых x; y 2 V, мы получим алгебру, которая называется патологической или тривиальной.

Пусть

линейное пространство многочленов с обычными алгебраическими операциями. Тогда P[C] коммутативная алгебра с единицей

e(z) 1 (a0 = 1, ak = 0 äëÿ k = 1, 2, . . . ).

Пусть Mn(C) линейное пространство матриц [A] = k ijk размерности n n. В Mn(C) определена операция умножения:

относительно которой Mn(C) алгебра. При этом Mn(C) алгебра с единицей, где роль единицы играет единичная матрица [I] = k ijk. Отметим, что при n > 1 алгебра Mn(C) некоммутативна.

42

Пусть Tn(C) = f[A] = kaijk : aij = 0; i > jg множество всех верхнетреугольных матриц:

Множество Tn(C) является подалгеброй алгебры Mn(C).

Пусть Tn(C) множество всех верхнетреугольных матриц вида

где элементы постоянны на каждой из диагоналей. Такая матрица называется верхнетреугольной т¼плицевой. Множество Tn(C) ÿâëÿ-

ется подалгеброй как алгебры Tn(C), так и алгебры Mn(C), причем если матрица [A] 2 Tn(C) невырожденная, то обратная матрица [A] 1

тоже принадлежит Tn(C).

Пусть Dn(C) множество всех диагональных матриц k ij ijk размерности n n. Тогда Dn(C) коммутативная подалгебра с единицей как алгебры Tn(C), так и алгебры Mn(C).

Определение 3.1.8. Подпространство L алгебры A называется правым идеалом в A, если из a 2 L, b 2 A следует, что ab 2 L:

L A L:

Подпространство L алгебры A называется левым идеалом в A, если из a 2 L, b 2 A следует, что ba 2 L:

A L L:

Идеал L алгебры A, который одновременно является и левым, и правым, называется двусторонним идеалом в A.

В коммутативной алгебре нет различия между левыми, правыми и двусторонними идеалами. Во всякой алгебре имеется два очевидных идеала: нулевой состоящий из единственного элемента 0, и сама алгебра A.

Все остальные идеалы алгебры A называются собственными или нетривиальными.

43

Замечание 3.1.9. Всякий идеал является подалгеброй. Обратное, вообще говоря, неверно, т.е. не всякая подалгебра является идеалом. Например, пусть A = P[C] коммутативная алгебра многочленов. Тогда

B= fp(z) : p(0) = p(1)g

подалгебра в P[C], не являющаяся идеалом. Нетривиальным идеалом этой алгебры P[C] является

L = fp(z) : p(0) = 0g:

Пусть M A линейное подпространство алгебры A. Полагая

M

a b () a b 2 M; a; b 2 A;

мы получим отношение эквивалентности на A, позволяющее рассмотреть фактор-пространство A=M. Если A = [a] и B = [b] классы эквивалентности, порожденные элементами a; b 2 A, то

A + B = [a + b]; A = [ a]; 2 C:

Утверждение 3.1.10. Если L двусторонний идеал алгебры A, то в фактор-пространстве A=L можно ввести умножение

AB = [a][b] = [ab];

которое превращает A=L в алгебру.

Доказательство. Покажем сначала, что такое определение умножения корректно. Пусть

a0b0 ab = a0(b0 b) + (a0 a)b 2 L:

Следовательно,

[a0b0] = [ab];

и потому умножение определено однозначно.

44

Далее, так как A алгебра, то

(AB) = [ab] = [ ab] = [( a)b] = ( A)B;(AB) = [ ab] = [a( b)] = A( B);

поэтому

(AB) = ( A)B = A( B):

Кроме того,

A(BC) = [a][bc] = [abc] = [ab][c] = (AB)C:

Следовательно, умножение ассоциативно. Наконец,

A(B + C) = [a][b + c] = [a(b + c)] = [ab + bc] = AB + AC;

(A + B)C = [a + b][c] = [(a + b)c] = [ac + bc] = AC + BC:

Таким образом, A=L алгебра.

Определение 3.1.11. Алгебра A=L называется фактор-алгеброй алгебры A по двустороннему идеалу L.

Замечание 3.1.12. Если алгебра A коммутативна, то фактор-алгебра A=L тоже коммутативна.

Определение 3.1.13. Пусть A и B две алгебры. Отображение

B взаимно однозначно, то он называется изоморфизмом. В этом случае алгебры A и B называются изоморфными.

45

Определение 3.1.14. Изоморфизм : A ! A алгебры A на себя называется автоморфизмом.

Упражнение 3.1.15. Если : A ! A автоморфизм алгебры A с единицей e, то (e) = e.

Определение 3.1.16. Если A алгебра с единицей e, и для элемента

является двусторонним идеалом алгебры A и L : A=L ! B является мономорфизмом фактор-алгебры A=L в алгебру B. При этом, если

эпиморфизм, то L изоморфизм алгебр A=L и B.

3.2Алгебра B(V). Теорема об изоморфизме

Множество B(V) является алгеброй относительно введенных алгебраиче- ских операций:

(A + B)x = Ax + Bx; A; B 2 B(V); x 2 V; ( A)x = Ax; A 2 B(V); 2 C; x 2 V; (AB)x = A(Bx); A; B 2 B(V); x 2 V:

46

Напомним, что роль единицы в алгебре B(V) играет тождественный оператор I:

Ix = x; x 2 V;

а роль нуля нулевой оператор:

0x = 0; x 2 V:

Заметим, что если dim V > 1, то алгебра B(V) некоммутативная, так как в общем случае AB 6= BA. Операторы A и B из B(V) называются

коммутирующими, если AB = BA. Оператор

[A; B] = AB BA

называется коммутатором операторов A и B.

Утверждение 3.2.1. Отображение

A : P[C] ! B(V);

такое, что A(p(z)) = p(A), является гомоморфизмом алгебры многочленов P[C] в алгебру операторов B(V).

Доказательство. Для любых p; q 2 P[C], 2 C имеем:

A( p(z)) = p(A) = A(p(z));

A(p(z) + q(z)) = p(A) + q(A) = A(p(z)) + (q(z));

A(p(z)q(z)) = p(A)q(A) = A(p(z)) A(q(z)):

Поэтому A : P[C] ! B(V) гомоморфизм.

Для любых многочленов p(z), q(z) 2 P[C] операторы p(A) и q(A) коммутируют:

[p(A); q(A)] = p(A)q(A) q(A)p(A) = 0:

Пусть векторное пространство V разложено в прямую сумму подпространств:

V = M u N

и x 2 V. Тогда существует единственная пара векторов y 2 M и z 2 N такая, что

x = y + z:

47

Определим оператор PM равенством:

PMx = y:

Ясно, что оператор PM 2 B(V). Оператор PM называется проектором на подпространство M параллельно подпространству N. Легко видеть, что

PM(PMx) = PMx, т.е. для любого x 2 V

PM2 x = PMx;

и потому PM2 = PM.

Линейный оператор P , удовлетворяющий равенству:

P 2 = P;

называется идемпотентным оператором или идемпотентом . Например, если V = C2, то оператор P , матрица которого в канониче-

ском базисе имеет вид

является идемпотентом.

Упражнение 3.2.2. Åñëè P , P1, . . . , Pk 2 B(V), k 2 N идемпотенты и

P = P1 + + Pk;

òî PiPj = 0 ïðè i 6= j.

Замечание 3.2.3. В бесконечномерном векторном пространстве это утверждение при k 4 неверно.

Упражнение 3.2.4. Пусть : A ! B изоморфизм алгебр A и B. Если p 2 A идемпотент, то (p) 2 B тоже идемпотент.

Теорема 3.2.5. Пусть dim V = n и fe1; : : : ; eng базис векторного пространства V. Тогда отображение

: A ! [A]

есть изоморфизм алгебр B(V) и Mn(C).

48

Доказательство. Легко видеть, что для любых A, B 2 B(V), 2 C

(A + B) = [A + B] = [A] + [B] = (A) + (B);

( A) = [ A] = [A] = (A);

т.е. является изоморфизмом векторных пространств B(V) и Mn(C).

XX

Aej = ijei; Bej = kjek;

j=1 k=1

òî

n n

X X

Значит, [AB] = [A][B].

Следствие 3.2.6. Пространство B(V) конечномерно, и если dim V = n, то dim B(V) = n2:

Следствие 3.2.7. Для того, чтобы линейный оператор A был обрати-

мым, необходимо и достаточно, чтобы ему в любом базисе соответствовала невырожденная матрица [A]. При этом [A 1] = [A] 1.

Доказательство. Пусть dim V = n и fe1; : : : ; eng базис векторного пространства V, оператор A 2 B(V) обратим, оператор B 2 B(V) обратный

к A и [A] и [B] матрицы операторов A и B в этом базисе. Так как, в силу теоремы 3.2.5, отображение

: B(V) ! Mn(C)

есть изоморфизм, то

[A][B] = [B][A] = [I]

где [I] единичная матрица размерности n. Следовательно, матрица [A] невырожденная, и [B] = [A 1] = [A] 1.

Обратно, если матрица [A] невырожденная, то по матрице [B] = [A] 1; в силу того же изоморфизма, построим оператор B = [B]. Тогда

([A][B]) = ([I]) = ([B][A]);

т.е. AB = BA = I, и потому оператор A обратим.

49

3.3Алгебра Mn(C) и ее свойства

3.3.1Мультипликативный базис в Mn(C)

Как уже отмечалось, алгебра Mn(C) всех квадратных матриц kaijk порядка n, aij 2 C, i; j = 1, . . . , n, является векторным пространством размерности dim Mn(C) = n2. Канонический базис в Mn(C) образуют матрицы [Eij], у которых элемент aij = 1, а все остальные элементы равны нулю. Матрицы [Eij] называются матричными единицами.

В следующем утверждении приведены некоторые свойства этого кано-

fekgnk=1; ek = (0; : : : ; 0; 1k; 0; : : : ; 0)>

канонический базис пространства Cn, òî

[Erj]ei = jier:

Доказательство. Приведенные свойства проверяются непосредственными операциями над матрицами f[Eij]gni;j=1.

Следствие 3.3.2. Для канонического базиса выполнены соотношения

[Ekk]2 = [Ekk]; [Ekk][Ejj] = 0; k 6= j:

Базис f[Eij]gnij=1 алгебры Mn(C) называют каноническим или мультипликативным.

Упражнение 3.3.3. Проверить, что для любой матрицы [A] = k jkk ее разложение по каноническому базису имеет вид

n

X

[A] = ij[Eij]:

i;j=1

Утверждение 3.3.4. Åñëè k 6= r, òî

X 2

50