MuratovSamoylenko

а роль нуля нулевой оператор:

0x = 0; x 2 V:

Степень оператора A 2 B(V) определяется обычным образом:

A0 = I; A1 = A; A2 = AA; A3 = A2A; : : : ; Ak+1 = AkA:

Легко видеть, что для любых натуральных m, n

Am+n = AmAn:

Если A 2 B(V), то для любого многочлена

p(z) = 0 + 1z + + kzk 2 P[C]

определен оператор

p(A) = 0I + 1A + + kAk 2 B(V):

2.2Ядро и образ линейного оператора

Определение 2.2.1. Пусть A 2 B(V). Множество

Ran A = fAx : x 2 Vg

называется образом оператора A, а множество

Ker A = fx 2 V : Ax = 0g

ядром оператора A.

Теорема 2.2.2. Имеют место такие свойства.

(i)Множества Ran A и Ker A являются линейными подпространствами векторного пространства V.

(ii)dim Ran A + dim Ker A = dim V.

Доказательство. (i). 1). Пусть y1; y2 2 Ran A, ; 2 C. Тогда существуют x1; x2 2 V такие, что

y1 = Ax1; y2 = Ax2:

31

Следовательно,

y1 + y2 = Ax1 + Ax2 = A( x1 + x2):

ò.å., y1 + y2 2 Ran A.

2). Пусть x1; x2 2 Ker A, ; 2 C. Тогда Ax1 = 0 è Ax2 = 0. Следовательно,

A( x1 + x2) = Ax1 + Ax2 = 0;

ò.å., x1 + x2 2 Ker A.

(ii). Допустим, что Ker A имеет размерность dim Ker A = k. Выберем в Ker A базис fe1; : : : ; ekg и дополним его до базиса

fe1; : : : ; ek; ek+1; : : : ; eng

во всем векторном пространстве V.

Рассмотрим векторы fAek+1; : : : ; Aeng и покажем, что они образуют базис в Ran A.

Действительно, пусть y 2 Ran A произвольный вектор. Тогда существует такой вектор x 2 V, что y = Ax. Так как

fe1; : : : ; ek; ek+1; : : : ; eng

базис векторного пространства V, то вектор x представим в виде: x = 1e1 + + nen:

Íî Ae1 = Ae2 = = Aek = 0. Следовательно,

y = k+1Aek+1 + + nAen:

Осталось показать, что векторы fAek+1; : : : ; Aeng линейно независимы. Пусть существуют не равные одновременно нулю числа k+1, . . . , n

такие, что

k+1Aek+1 + + nAen = 0:

Рассмотрим вектор

x = k+1ek+1 + + nen 6= 0:

Тогда

y = Ax = k+1Aek+1 + + nAen = 0;

т.е. вектор x принадлежит ядру Ker A оператора A и потому представим в виде линейной комбинации векторов fe1; : : : ; ekg. Противоречие показывает, что векторы fAek+1; : : : ; Aeng линейно независимы, и потому размерность подпространства Ran A равна n k.

32

Определение 2.2.3. Размерности подпространств Ran A и Ker A называются рангом и дефектом линейного оператора A и обозначаются

dim Ran A = rg A; dim Ker A = def A:

Отметим, что в силу теоремы 2.2.2 (ii),

rg A + def A = n = dim V:

Замечание 2.2.4. Несмотря на то, что для любого оператора A 2 B(V)

dim Ran A + dim Ker A = dim V;

нельзя утверждать, что пространство V разлагается в прямую сумму подпространств Ker A и Ran A. Рассмотрим, например (n + 1)-мерное векторное пространство V = Pn[R] многочленов степени 6 n и оператор дифференцирования D:

D p(t) = p0(t):

Тогда

Ker D = fp(t) 2 Pn : p0(t) 0g = fp(t) 2 Pn : p(t) constg; Ran D = fp0(t) : p(t) 2 Png = Pn 1;

dim Ker D + dim Ran D = 1 + n = dim Pn;

причем при n > 1 имеем:

Ker D Ran D:

Если рассмотреть оператор D2, òî

Ker D2 = fp(t) 2 Pn : p00(t) 0g = P1

Ran D2 = fp00(t) : p(t) 2 Png = Pn 2; dim Ker D + dim Ran D = 2 + (n 1) = n + 1 = dim Pn;

причем при n > 2

Ker D2 Ran D2:

à ïðè n = 3

Ker D2 = Ran D2:

33

2.3Обратный оператор

В этом параграфе мы рассмотрим понятие обратного оператора.

Определение 2.3.1. Оператор B 2 B(V) называется обратным к оператору A 2 B(V), если

BA = AB = I;

где I тождественный оператор. Если оператор A имеет обратный, то он называется обратимым.

Оператор, обратный к оператору A, обозначается через A 1. ßñíî, ÷òî оператор A 1 тоже обратим и

(A 1) 1 = A:

Замечание 2.3.2. Не всякий линейный оператор имеет обратный. Например, нулевой оператор необратим.

Приведем критерий обратимости оператора A.

Теорема 2.3.3. Следующий условия эквивалентны:

(i)Оператор A обратим;

(ii)Ker A = f0g;

(iii)Ran A = V.

Доказательство. (i) ) (ii). Пусть оператор A обратим, x 2 V такой, что

Ax = 0. Тогда

A 1Ax = x = 0:

Следовательно, Ker A = f0g.

(ii) ) (iii). Пусть Ker A = f0g, dim V = n и fe1; : : : ; eng базис в V. Покажем, что тогда fAe1; : : : ; Aeng тоже базис в V.

Действительно, если множество fAe1; : : : ; Aeng линейно зависимо, то существуют такие не равные нулю одновременно числа 1; : : : ; n, ÷òî

1Ae1 + + nAen = 0:

Тогда

A( 1e1 + + nen) = 0;

è òàê êàê Ker A = f0g, òî

1e1 + + nen = 0:

34

Íî fe1; e2; : : : ; eng базис в V, и поэтому это равенство возможно лишь в случае

1 = 2 = = n = 0:

Противоречие показывает, что множество fAe1; : : : ; Aeng линейно независимо. Так как dim V = n, то fAe1; : : : ; Aeng базис в V.

Рассмотрим произвольный вектор y 2 V и разложим его по базису fAe1; : : : ; Aeng:

XX

Следовательно, y 2 A(V), и потому A(V) = V.

(iii) ) (i). Пусть fe1; : : : ; eng базис в V. Так как A(V) = V, то существуют такие fx1; : : : ; xng â V, ÷òî

Ax1 = e1; : : : ; Axn = en:

Покажем, что fx1; : : : ; xng тоже базис в V. Действительно, если

1x1 + + nxn = 0;

òî

0= A(0) = A( 1x1 + + nxn) =

=1Ax1 + + nAxn = 1e1 + + nen:

Следовательно,

1 = 2 = = n = 0;

и потому fx1; : : : ; xng базис в V.

Если теперь векторы z; u 2 V такие, что Az = Au, то

Следовательно,

1 = 2 = = n = 0;

потому z = u и значит оператор A обратим.

35

Следствие 2.3.4. Следующие условия эквивалентны:

(i)Оператор A обратим;

(ii)Существует оператор B 2 B(V) такой, что BA = I;

(iii)Существует оператор C 2 B(V) такой, что AC = I.

Доказательство. (i) , (ii). Если оператор A обратим, то полагая B = A 1, получим:

BA = A 1A = I:

Обратно, если существует оператор B 2 B(V) такой, что BA = I, то Ran B = V. Поэтому, в силу теоремы 2.3.3, оператор B обратим и

B 1 = B 1BA = A:

Следовательно, оператор A обратим и A 1 = B.

(i) , (iii). Если оператор A обратим, то полагая C = A 1, получим:

AC = AA 1 = I:

Обратно, если существует оператор C 2 B(V) такой, что AC = I, то Ker C = f0g, так как если x 2 Ker C, то

x = A(Cx) = A(0) = 0:

Поэтому, в силу теоремы 2.3.3, оператор C обратим и

C 1 = ACC 1 = A:

Следовательно, оператор A обратим и A 1 = C.

2.4Матрица линейного оператора

Пусть fe1; : : : ; eng базис векторного пространства V и A линейный оператор в V. Тогда каждый вектор Aej, j = 1, . . . , n, раскладывается в линейную комбинацию базисных векторов:

Aej = 1je1 + + njen; j = 1; : : : ; n:

Числа ij, i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , n, образуют матрицу k ijk, которая обозначается через

и называется матрицей линейного оператора A в базисе fe1; : : : ; eng.

36

Замечание 2.4.1. При фиксированном базисе векторного пространства V соответствие между оператором A и его матрицей [A] взаимно однозначно.

Как показывает пример, если базисы векторного пространства V раз-

ные, то одному и тому же оператору, в общем случае, соответствуют разные матрицы.

Пример 2.4.2. Пусть V = Pn 1[C] векторное пространство многочленов над полем комплексных чисел C порядка 6 (n 1) и D оператор дифференцирования.

Пусть B = f1; z; : : : ; zn 1g канонический базис пространства V. Так как ej = zj 1 è

Поэтому матрица [D] оператора D в этом базисе имеет вид

01

BC

[D] = B: : : : : : : : : : : : : : :C:

BC @0 0 0 : : : 1A

0 0 0 : : : 0

37

Замечание 2.4.3. Пусть fe1; : : : ; eng базис векторного пространства V, A линейный оператор в V и

его матрица в базисе fe1; : : : ; eng. Пусть x 2 V и Ax = y. Обозначим векторы x и y в этом базисе в виде матриц-столбцов

Тогда равенство Ax = y имеет следующий матричный вид:

2.5Связь между матрицами оператора в различных базисах. Подобие матриц и операторов

Пусть B = fe1; : : : ; eng è B0 = fe01; : : : ; e0ng два различных базиса векторного пространства V и [C] = kcijk матрица перехода от первого базиса ко второму, т.е. e01 = Ce1, . . . , e0n = Cen. Ясно, что матрица [C]

C 0

невырожденная, т.е. det[C] 6= 0. В этом случае будем писать B ! B : Пусть теперь A произвольный линейный оператор в V, имеющий в

базисах B = fe1; : : : ; eng è B0 = fe01; : : : ; e0ng матрицы [A] и [A0] соответственно.

Теорема 2.5.1. Матрицы [A] и [A0] оператора A связаны равенством:

[A0] = [C] 1[A][C]:

38

Доказательство. Рассмотрим оператор C 2 B(V), полагая

Применяя к обеим частям последнего равенства оператор C 1, получим

XX

C 1ACek = a0ikC 1Cei = a0ikei:

i=1 i=1

Таким образом, матрица [A0] = ka0ijk совпадает с матрицей оператора C 1AC в базисе B = fe1; : : : ; eng. С другой стороны, произведению C 1AC

соответствует матрица [C 1][A][C]. Следовательно, [A0] = [C] 1[A][C]:

Следствие 2.5.2. det[A0] = det[A].

Определение 2.5.3. Квадратная матрица [A] называется подобной матрице [B], если найдется такая невырожденная матрица [C], что

[B] = [C] 1[A][C]:

Замечание 2.5.4. Теорему 2.5.1 можно сформулировать так: Матрицы линейного оператора в различных базисах подобны.

Упражнение 2.5.5. Показать, что единственная матрица, подобная нулевой матрице, есть она сама.

Определение 2.5.6. Операторы A и B из B(V) называются подобными, если найдется такой обратимый оператор S 2 B(V), что

B = S 1AS:

39

Легко видеть, что подобие является отношением эквивалентности на

B(V).

Утверждение 2.5.7. Если операторы A и B подобны и

B = S 1AS;

то для любого полинома p( ) операторы p(A) и p(B) тоже подобны и имеет место равенство:

p(B) = S 1p(A)S:

Доказательство. Так как B = S 1AS; то для любого k = 1, 2, . . . имеем:

Bk = (S 1AS)k = (S 1AS) : : : (S 1AS) = S 1AkS:

Следовательно, для любого полинома p( ) имеет место равенство: p(B) = S 1p(A)S:

Упражнение 2.5.8. Доказать, что для того, чтобы операторы A и B были подобными, необходимо и достаточно, чтобы для любого базиса B1 векторного пространства V существовал такой базис B2, что матрица опе- ратора B в базисе B2 была бы равна матрице оператора A в базисе B1.

40