MuratovSamoylenko

(i)V = W1 u u Wm;

(ii)dim Wi = ki, i = 1; : : : ; m;

(iii)PA Wi (z) = pki(z) = (z i)ki ;

(iv)A = A W1 u u A Wm ;

(v)В базисе векторного пространства V, составленного как последова-

тельное объединение любых базисов инвариантных подпространств Wi, i = 1; : : : ; m, матрица [A] оператора A имеет квазидиагональ-

íûé âèä

01

[A11] 0

где матрицы [Aii], стоящие на главной диагонали, имеют порядок ki и являются матрицами индуцированных операторов A Wi.

Определение 6.2.3. Инвариантные подпространства Wi называются корневыми подпространствами оператора A, соответствующими собственным значениям i. Векторы корневых подпространств Wi называют- ся корневыми векторами оператора A. Разложение (iv) называется спектральным разложением оператора A.

Утверждение 6.2.4. Wi = Ker(A iI)ki .

Доказательство. Согласно теореме 6.1.5,

Wi = Ker prki (A) = Ker((A iI)ki )r:

Покажем, что в данном случае можно положить r = 1.

Рассмотрим операторы (A iI)j для j = 1; 2; : : : . Пусть ji наимень- шее натуральное число, для которого

Ker(A iI)ji = Ker(A iI)ji+1:

Тогда корневое подпространство Wi будет совпадать с подпространством Ker(A iI)ji. Так как размерности подпространств Ker(A iI)j, j = 1,

2, . . . , монотонно возрастают, а размерность подпространства Wi равна ki, òî ji 6 ki. Поэтому,

Wi = Ker(A iI)ki:

101

Замечание 6.2.5. Каждый оператор A 2 B(V) разлагается в прямую сум-

му одноточечных операторов A Wk , k = 1; : : : ; m, сосредоточенных в попарно различных точках спектра (A) оператора A. Это разложение един-

ственно с точностью до порядка слагаемых. Рассмотрим гомоморфизм

A : P[C] ! B(V)

алгебры многочленов P[C] в алгебру операторов B(V), dim V = n. Так

как размерность

dim B(V) = n2;

то первые n2 + 1 элемента последовательности операторов fAjg1j=0 линей- но зависимы. Поэтому существует такой многочлен p(z) 2 P[C] степени

m 6 n2, ÷òî p(A) = 0:

Определение 6.2.6. Многочлен p(z) 2 P[C] называется аннулирующим многочленом оператора A 2 B(V), если p(A) = 0.

Следующая теорема показывает, что характеристический многочлен PA(z) оператора A 2 B(V) является аннулирующим многочленом опера-

òîðà A.

Теорема 6.2.7. (Теорема Кели-Гамильтона)

PA(A) = 0:

Доказательство. Представим характеристический многочлен PA(z) оператора A в каноническом разложении:

PA(z) = ( 1)n(z 1)k1 : : : (z m)km ;

ãäå 1; : : : ; m попарно различные собственные значения, кратности которых k1; : : : ; km, è

k1 + + km = n = dim V:

Òàê êàê

PA(A) = ( 1)n(A 1I)k1 : : : (A rI)km;

и для любого xi 2 Wi в силу утверждения 6.2.4, имеет место равенство:

(A iI)kixi = 0;

102

то в силу коммутируемости операторных многочленов от оператора A, имеем, что

PA(A) Wixi = 0:

Пусть теперь x 2 V произвольный вектор. Представим его в виде

x = x1 + + xm; xi 2 Wi; i = 1; : : : ; m:

Тогда

PA(A)x = PA(A) W1 x1 + + PA(A) Wr xm = 0:

Следовательно, PA(A) = 0:

Рассмотрим идеалы алгебры P[C].

Утверждение 6.2.8. Для любого фиксированного многочлена q0(z) из P[C] множество

L = fp(z)q0(z) : p(z) 2 P[C]g

является идеалом алгебры P[C].

Доказательство. Так как алгебра P[C] коммутативна, то достаточно показать, что L левый идеал. Пусть p(z) 2 L. Тогда

p(z) = p1(z)q0(z)

для некоторого p1(z) 2 P[C]. Тогда для любого многочлена q(z) из P[C] имеем:

q(z)p(z) = q(z)p1(z)q0(z) = [q(z)p1(z)]q0(z) 2 L;

òàê êàê q(z)p1(z) 2 P[C]. Следовательно, L идеал алгебры P[C]. Обозначим идеал L, порожденный многочленом q0(z), через

L = L[q0(z)]:

Оказывается, любой ненулевой идеал алгебры P[C] имеет такую структуру.

Утверждение 6.2.9. Для любого ненулевого идеала L алгебры P[C] существует такой многочлен q0(z) 2 P[C], ÷òî

L = L[q0(z)] = fp(z)q0(z) : p(z) 2 P[C]g:

103

Доказательство. Пусть q0(z) многочлен минимальной степени k, принадлежащий идеалу L, отличный от нуля. Пусть q(z) произвольный многочлен из идеала L. Разделим многочлен q(z) на q0(z) с остатком:

q(z) = p(z)q0(z) + r(z);

где p(z); r(z) 2 P[C] и остаток r(z) многочлен, степень которого меньше чем k. Так как q0(z) 2 L и L идеал, то

p(z)q0(z) 2 L:

Следовательно,

r(z) = q(z) p(z)q0(z) 2 P[C]:

Но тогда r(z) 0 и потому

q(z) = p(z)q0(z):

Таким образом, q(z) 2 L[q0(z)] è L L[q0(z)]. Так как обратное включение очевидно, то

L = L[q0(z)]:

Замечание 6.2.10. Многочлен q0(z) определяется идеалом L однозначно с точностью до числового коэффициента. Действительно, если

L = L[q0(z)] = L[q1(z)];

òî

q1(z) = p1(z)q0(z); q0(z) = p0(z)q1(z);

и потому

q1(z) = p1(z)p0(z)q1(z):

Следовательно, p1(z)p0(z) 1, òî åñòü p0(z) è p1(z) константы, и потому многочлены q0(z) è q1(z) отличаются друг от друга числовым множителем.

Пусть многочлены q1(z), . . . , qm(z) из P[C] не все равные нулю, не имеют общих делителей степени > 1. Тогда существуют такие многочлены p01(z), . . . , p0m(z) 2 P[C], ÷òî

m

104

Доказательство. Рассмотрим множество L многочленов p(z), представи-

ìûõ â âèäå

p(z) = p1(z)q1(z) + + pm(z)qm(z);

ãäå pk(z) 2 P[C], k = 1, . . . , m. Легко видеть, что L идеал алгебры P[C]. В силу утверждения 6.2.9, существует многочлен q0(z) 2 P[C] такой, что

L = L[q0(z)]:

Òàê êàê q1(z), . . . , qm(z) 2 L, то найдутся такие многочлены s1(z), . . . , sm(z) 2 P[C], ÷òî

q1(z) = s1(z)q0(z); : : : ; qm(z) = sm(z)q0(z):

Следовательно, q0(z) общий делитель многочленов q1(z), . . . , qm(z). Но тогда степень q0(z) равна нулю. т.е.

q0(z) a0 6= 0:

С другой стороны, q0(z) 2 L, и потому существуют такие многочлены p1(z), . . . , pm(z) 2 P[C], ÷òî

q0(z) = p1(z)q1(z) + + pm(z)qm(z) a0:

получим, что

p01(z)q1(z) + + p0m(z)qm(z) 1:

Рассмотрим теперь множество всех многочленов, аннулирующих оператор A. Так как

L = Ker A = fp(z) 2 P[C] : p(A) = 0g

является идеалом алгебры P[C], то в силу утверждения 6.2.9, существует многочлен q0(z) 2 P[C], такой что L = L[q0(z)]. Поэтому среди всех многочленов, аннулирующих оператор A, существует многочлен q0(z) минимальной степени с коэффициентом при старшей степени не равным нулю. Этот многочлен называется минимальным многочленом оператора A.

Минимальный многочлен единственный с точностью до числового множителя и его степень не превосходит размерности векторного пространства dim V = n. При этом любой аннулирующий многочлен p(z) оператора A

делится на минимальный многочлен q0(z). Минимальный многочлен оператора A со старшим коэффициентом, равным единице, будем обозначать

QA(z).

105

Замечание 6.2.12. Характеристический многочлен оператора A совпадает,

с точностью до коэффициента, с его минимальным многочленом тогда и только тогда, когда степень минимального многочлена равна dim V = n.

Определение 6.2.13. Аннулирующим многочленом вектора x 2 V относительно оператора A 2 B(V) называется такой многочлен p(z) 2 P[C],

÷òî

p(A)x = 0:

Аннулирующий многочлен вектора x минимальной степени с коэффици-

ентом 1 при старшей степени называется минимальным многочленом вектора x относительно оператора A и обозначается Qx;A(z).

Утверждение 6.2.14. Минимальный многочлен Qx;A(z) вектора x относительно оператора A является делителем минимального многочлена QA(z) оператора A.

Доказательство. Разделим многочлен QA(z) íà Qx;A(z):

QA(z) = q(z)Qx;A(z) + r(z);

причем степень многочлена r(z) меньше степени многочлена Qx;A(z). Тогда

r(A)x = QA(A)x q(A)Qx;A(A)x = 0:

Следовательно, r(z) аннулирующий многочлен вектора x относительно оператора A, степень которого меньше степени минимального многочлена. Следовательно, r(z) 0 и потому многочлен QA(z) делится на многочлен

Qx;A(z).

Теорема 6.2.15. Для любого оператора A 2 B(V) существует вектор x 2 V, минимальный многочлен которого относительно оператора A совпадает с минимальным многочленом оператора A:

Qx;A(z) = QA(z):

Доказательство. Рассмотрим для любого x 2 V множество

Lx = fp(z) 2 P[C] : p(A)x = 0g:

Òàê êàê Lx идеал алгебры P[C], то в силу утверждения 6.2.9, существует многочлен qx(z) 2 P[C] со старшим коэффициентом, равным 1, такой что

Lx = L[qx(z)]:

106

Òàê êàê QA(z) 2 Lx, òî qx(z) делитель минимального многочлена QA(z). Но многочлен QA(z) имеет лишь конечное число делителей p1(z), . . . , pk(z), каждый из которых является минимальным многочленом некоторого вектора xi относительно оператора A, и любой идеал Lx совпадает с одним из идеалов Lxi, i = 1, . . . , k. Рассмотрим подпространства

Vi = fx 2 V : pi(A)x = 0g; i = 1; : : : ; k:

то существует такой номер j 2 f1; : : : ; kg, что V = Vj. Тогда pj(A)V = 0;

поэтому многочлен pj(z) делится на QA(z), и, значит, совпадает с ним. Следовательно, минимальный многочлен QA(z) оператора A совпадает с минимальным многочленом pj(z) = Qxj;A(z) вектора xj.

Упражнение 6.2.16. Докажите следующие утверждения.Если оператор A представим в виде прямой суммы

A = A1 u u Am;

сосредоточенных в попарно различных точках k, k = 1, . . . , m,

òî (A) = f 1; : : : ; mg è Ak = A Wk , ãäå Wk соответствующее корневое подпространство оператора A.

Оператор A имеет простую структуру тогда и только тогда, когда

A = 1I N 1 u u mI N m ;

ãäå I N k единичный оператор в k-ом собственном подпространстве N k оператора A, k = 1, . . . , m. Данное представление называ-

ется спектральным разложением оператора A простой структуры.

Упражнение 6.2.17. Пусть [A] 2 Mn(C), [B] 2 Mm(C), (A)\ (B) = ;. Доказать, что если [A][X] = [X][B], [X] 2 Mn;m(C), òî [X] = 0;

107

6.3Неразложимые операторы. Клетки Жордана

Определение 6.3.1. Оператор A 2 B(V) называется неразложимым, если векторное пространство V невозможно представить в виде прямой суммы нетривиальных подпространств

V = M u N;

инвариантных относительно оператора A.

Утверждение 6.3.2. Оператор A 2 B(V) является неразложимым тогда и только тогда, когда из условия

RA = AR; R2 = R

следует, что R = 0 или R = I.

Доказательство. Необходимость. Пусть оператор A неразложим и

Если x 2 M \ N, то Rx = 0 и существует y 2 V, что x = Ry. Тогда

Rx = R(Ry) = R2y = Ry = x = 0;

è òàê êàê

dim M + dim N = dim V;

òî

V = M u N:

Покажем, что подпространства M и N инвариантны относительно оператора A.

Пусть x 2 M = Ker R. Тогда Rx = 0 и

R(Ax) = ARx = 0;

ò.å. Ax 2 M.

108

Пусть теперь x 2 N = Ran R. Следовательно, x = Ry для некоторого y 2 V. Поэтому

Ax = A(Ry) = R(Ay) 2 N:

Полученное противоречие с неразложимостью оператора A показывает, что R = 0 или R = I.

Достаточность. Пусть оператор A разложим, т.е. существует разло-

жение

V = M u N;

где подпространства M и N нетривиальны и инвариантны относительно оператора A. Покажем, что тогда существует оператор R, такой что

R2 = R; RA = AR; R 6= 0; R 6= I:

Действительно, оператор R можно определить следующим образом: для каждого x = y + z, y 2 M, z 2 N

Rx = R(y + z) = z:

Тогда

R2 = R; R 6= 0; R 6= I:

Кроме того,

ARx = AR(y + z) = Az

è

RAx = RA(y + z) = R(Ay + Az) = Az:

Следовательно, AR = RA.

Примером неразложимого оператора служит клетка Жордана

Теорема 6.3.3. Оператор A является неразложимым тогда и только тогда, когда он подобен клетке Жордана Jn( ).

Доказательство. Необходимость.

1). Пусть оператор A неразложим. Тогда он одноточечный, т.е. его спектр содержит единственное собственное значение . Действительно,

109

если это не так, то точек спектра должно быть не менее двух. Пусть, например

(A) = f 1; : : : ; kg:

Тогда, в силу теоремы 5.3.21, пространство V можно разложить в прямую сумму инвариантных подпространств

где каждое из подпространств N(pi)(A) состоит из собственных и присо-

i

единенных векторов оператора A, отвечающих собственному значению i, i = 1, . . . , k. Таким образом, в этом случае оператор A неразложимым быть не может. Следовательно, оператор A одноточечный, т.е. его спектр состоит из единственного собственного значения . Тогда, в силу утверждения 5.3.16 и следствия 5.3.17, оператору A однозначно соответствует конечная цепь инвариантных подпространств:

f0g N(1)(A) N(p)(A) = V:

Все члены этой цепи различны.

2). Покажем, что dim N(1)(A) = 1. Обозначим dim N(k)(A) = mk. Тогда

0 = m0 < m1 < < mp 1 < mp = n = dim V:

Положим

N(k)(A) = Nk:

Пусть

mp mp 1 = n1 > 0:

Рассмотрим линейно независимые векторы ff1; : : : ; fn1 g Np, линейная оболочка которых в прямой сумме с Np 1 äàåò Np. Такие векторы назы- вают линейно независимыми над Np 1, ò.å. èç

1f1 + + n1 fn1 2 Np 1

следует, что

1f1 + + n1 fn1 = 0

и потому

1 = = n1 = 0:

Ясно, что векторы ff1; : : : ; fn1 g Np n Np 1, и, по утверждению 5.3.14, являются присоединенными векторами оператора A (p 1)-ãî порядка,

отвечающими собственному значению .

110