MuratovSamoylenko

Векторы

f(A I)f1; : : : ; (A I)fn1 g

лежат в подпространстве Np 1 и линейно независимы над Np 2. Действи- тельно, в силу утверждения 5.3.15,

(A I)(Np) Np 1:

Поэтому из ff1; : : : ; fn1 g Np следует, что

f(A I)f1; : : : ; (A I)fn1 g Np 1:

С другой стороны, если

1(A I)f1 + + n1 (A I)fn1 = g 2 Np 2;

òî

(A I)p 2[ 1(A I)f1 + + n1 (A I)fn1 ] = = (A I)p 1( 1f1 + + n1 fn1 ) = (A I)p 1g = 0:

Следовательно, 1f1+ + n1 fn1 = g 2 Np 1. Но векторы ff1; : : : ; fn1 g Np и линейно независимы над Np 1. Поэтому

1 = = n1 = 0:

Следовательно, векторы

f(A I)f1; : : : ; (A I)fn1 g

лежат в подпространстве Np 1 и линейно независимы над Np 2. Из приведенных рассуждений непосредственно следует, что

n1 = mp mp 1 6 mp 1 mp 2 = n2:

Дополним систему векторов

f(A I)f1; : : : ; (A I)fn1 g;

если это необходимо, до максимальной системы векторов из Np 1, линейно независимой над Np 2, векторами ffn1+1; : : : ; fn2 g. Получим систему векторов

f(A I)f1; : : : ; (A I)fn1 ; fn1+1; : : : ; fn2 g;

111

линейно независимую над Np 2. Применяя ко всем векторам этой системы оператор (A I), получим систему векторов

f(A I)2f1; : : : ; (A I)2fn1 ; (A I)fn1+1; : : : ; (A I)fn2 g;

принадлежащих Np 2, и линейно независимых над Np 3. Отсюда непо- средственно следует, что

n2 = mp 1 mp 2 6 mp 2 mp 1 = n3;

и можно построить в подпространстве Np 2 векторы ffn2+1; : : : ; fn3 g такие, что векторы

f(A I)2f1; : : : ; (A I)2fn1 ; (A I)fn1+1; : : : ; (A I)fn2 ; fn2+1; : : : ; fn3 g

образуют максимальную систему векторов из Np 2, линейно независимую íàä Np 3.

Переходя последовательно к подпространствам

Np 3; Np 4; : : : ; N0 = f0g;

получим полную линейно независимую систему, т.е. базис в пространстве Np = V. Запишем этот базис в виде

ff1; : : : ; fn1 ;

(A I)f1; : : : ; (A I)fn1 ; fn1+1; : : : ; fn2 ;

(A I)2f1; : : : ; (A I)2fn1 ; (A I)fn1+1; : : : ; (A I)fn2 ; fn2+1; : : : ; fn3 ;

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(A I)p 1f1; : : : ; (A I)p 1fn1 ; : : : ; fnp 1+1; : : : ; fnp g:

Векторы ff1; : : : ; fn1 g являются присоединенными векторами оператора A (p 1)-го порядка, векторы

f(A I)f1; : : : ; (A I)fn1 ; fn1+1; : : : ; fn2 g

присоединенными векторами оператора A (p 2)-го порядка, и т.д., векторы

f(A I)p 1f1; : : : ; (A I)p 1fn1 ; : : : ; fnp 1+1; : : : ; fnpg

собственными векторами оператора A, и поэтому переводятся оператором (A I) в 0.

112

Векторы каждого столбца этой последовательности векторов определяют инвариантное подпространство оператора A:

M1;A = Ch(A I)p 1f1; (A I)p 2f1; : : : ; f1; i;

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

Mn1;A = Ch(A I)p 1fn1 ; (A I)p 2fn1 ; : : : ; fn1 i;

Mn1+1;A = Ch(A I)p 2fn1+1; (A I)p 3fn1+1; : : : ; fn1+1i;

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

Mn2;A = Ch(A I)p 2fn2 ; (A I)p 3fn2 ; : : : ; fn2 i;

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

Mnp 1+1;A = Chfnp 1+1i;

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

Mnp;A = Chfnpi:

Первые n1 подпространств

M1;A; : : : ; Mn1;A

имеют размерность p, следующие (n2 n1) подпространств

Mn1+1;A; : : : ; Mn2;A

имеют размерность (p 1), и.т.д., последние (np np 1) подпространств

Mnp 1+1;A; : : : ; Mnp;A

одномерные. Все пространство V есть прямая сумма этих подпространств:

V = M1;A u u Mnp;A:

Подпространства M1;A; : : : ; Mnp;A называются циклическими инвариантными подпространствами оператора A, отвечающими собственному зна-

чению . Так как векторы

(A I)p 1f1; : : : ; (A I)p 1fn1 ; : : : ; fnp 1+1; : : : ; fnpg

линейно независимые собственные векторы оператора A, то оператор A неразложим лишь в случае, когда

V = M1;A = Ch(A I)p 1f1; (A I)p 2f1; : : : ; f1; i;

113

т.е. когда dim N(1)(A) = 1. В этом случае p = n и оператор A имеет, с точностью до постоянного множителя, один собственный вектор

e1 = (A I)n 1f1;

один присоединенный вектор 1-го порядка

e2 = (A I)n 2f1

и т.д., один присоединенный вектор (n 1)-го порядка en = f1:

Векторы e1; : : : ; en образуют базис векторного пространства V, в котором матрица оператора A имеет вид

Достаточность. Допустим, что оператор A подобен оператору Jn(0). Тогда существует базис fe1; : : : ; eng векторного пространства V, в котором матрица оператора A имеет вид:

Для векторов базиса имеем:

Ae1 = 0; : : : ; Aen = en 1:

Допустим, что оператор A разложим, т.е. векторное пространство V можно представить в виде прямой суммы нетривиальных подпространств

V = M u N;

инвариантных относительно оператора A. Так как dim V = n, то существует вектор x 2 V, n-я координата которого отлична от нуля. Пусть, без ограничения общности, таким вектором является вектор

x = 1e1 + + nen 2 M; n 6= 0:

114

Так как подпространство M инвариантно относительно A, то последовательно имеем:

Ax = 1 Ae1 + 2 Ae2 + + n Aen = 2 e1 + + n en 1 2 M;

A2x = 2 Ae1 + + n Aen 1 = 3 e1 + + n en 2 2 M;

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

An 2x = n 2 Ae1 + n 1 Ae2 + n Ae3 = n 1 e1 + n e2 2 M; An 1x = n 1 Ae1 + n Ae2 = ne1 2 M:

Òàê êàê n 6= 0, òî e1 2 M. Следовательно,

n e2 = ( n 1 e1 + n e2) n 1 e1 2 M;

Откуда e2 2 M. Рассуждая аналогично, последовательно получим, что e3 2 M, è ò.ä., en 2 M. Таким образом, M = V, что противоречит предположению о разложимости оператора A. Следовательно, оператор

A = Jn(0) неразложим. Если

A = Jn( ) = I + Jn(0);

то неразложимость оператора A следует из неразложимости Jn(0).

6.4Нормальная форма Жордана оператора, имеющего единственное собственное зна- чение

Если A оператор простой структуры, то его матрица [A] в любом базисе

подобна диагональной. В общем случае выбор соответствующего базиса, в котором матрица [A] имеет наиболее простую форму, является весьма

важной задачей. В этом параграфе мы рассмотрим каноническую форму Жордана матрицы линейного оператора.

Если оператор A имеет k различных собственных значений:

(A) = f 1; : : : ; kg;

то, согласно теореме 5.3.21, пространство V можно разложить в прямую сумму инвариантных подпространств

115

где каждое из подпространств N(pi)(A) состоит из собственных и присо-

i

единенных векторов оператора A, отвечающих собственному значению i, i = 1, . . . , k. При этом каждому собственному значению i соответствует конечная цепь инвариантных подпространств

Наша цель выбрать в каждом из инвариантных подпространств N(pi)(A)

i

соответствующий базис.

Пусть оператор A одноточечный, т.е. его спектр состоит из единственного собственного значения . Тогда

f0g N(1)(A) N(p)(A) = V:

Все члены этой цепи различны.

Так же, как в доказательстве теоремы 6.3.3, можно показать, что существует базис векторного пространства V:

ff1; : : : ; fn1 ;

(A I)f1; : : : ; (A I)fn1 ; fn1+1; : : : ; fn2 ;

(A I)2f1; : : : ; (A I)2fn1 ; (A I)fn1+1; : : : ; (A I)fn2 ; fn2+1; : : : ; fn3 ;

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

(A I)p 1f1; : : : ; (A I)p 1fn1 ; : : : ; fnp 1+1; : : : ; fnp g;

такой, что векторы

ff1; : : : ; fn1 g

являются присоединенными векторами оператора A (p 1)-го порядка,

векторы

f(A I)f1; : : : ; (A I)fn1 ; fn1+1; : : : ; fn2 g

присоединенными векторами оператора A (p 2)-го порядка, и т.д., векторы

f(A I)p 1f1; : : : ; (A I)p 1fn1 ; : : : ; fnp 1+1; : : : ; fnpg

собственными векторами оператора A, и поэтому переводятся оператором (A I) в 0.

Все пространство V есть прямая сумма циклических инвариантных подпространств оператора A:

V = M1;A u u Mnp;A;

116

ãäå

M1;A = Ch(A I)p 1f1; (A I)p 2f1; : : : ; f1; i;

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

Mn1;A = Ch(A I)p 1fn1 ; (A I)p 2fn1 ; : : : ; fn1 i;

Mn1+1;A = Ch(A I)p 2fn1+1; (A I)p 3fn1+1; : : : ; fn1+1i;

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

Mn2;A = Ch(A I)p 2fn2 ; (A I)p 3fn2 ; : : : ; fn2 i;

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

Mnp 1+1;A = Chfnp 1+1i;

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

Mnp;A = Chfnpi:

Найдем матрицу оператора (A I) в подпространстве M1;A, выбирая в качестве базиса векторы

f(A I)p 1f1; (A I)p 2f1; : : : ; f1g:

Так как первый вектор (A I)p 1f1 этого базиса собственный вектор оператора A, второй (A I)p 2f1 присоединенный вектор первого по-

рядка, и т.д., последний вектор f1 присоединенный вектор (p 1)-го порядка, то

(A I)((A I)p 1f1) = (A I)pf1 = 0; (A I)((A I)p 2f1) = (A I)p 1f1;

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

(A I)((A I)f1) = (A I)2f1; (A I)(f1) = (A I)f1;

и матрица оператора (A I) в этом базисе имеет вид

Аналогичный вид имеют матрицы оператора (A I) в остальных инва-

риантных подпространствах M2;A, . . . , Mnp;A, векторы базисов которых выбраны так же, как и в подпространстве M1;A

[(A I) Mnp 1+1;A] = = [(A I) Mnp;A ] = [0]:

117

Матрица [A I] оператора (A I) во всем пространстве в данном базисе будет квазидиагональной с указанными блоками на диагонали:

= [(A I) M1;A] [(A I) Mnp;A ]:

Так как A = (A I) + I; то матрица [A M1;A ] оператора A M1;A имеет âèä [A M1;A ] = I + Jp(0) = Jp( ): Аналогичный вид имеют матрицы оператора A в остальных инвариантных подпространствах M2;A, . . . , Mnp;A.

Матрица [A] оператора A во всем пространстве V будет квазидиагональной:

[A] = [A M1;A] [A Mnp;A]:

Отметим, что в матрице [A] число блоков Жордана Jp( ) размерности p p равно n1, число блоков Jp 1( ) размерности (p 1) (p 1) равно (n2 n1), и т.д., размерности 2 2 равно (np 1 np 2), и наконец блоков J1( ) = [ ] размерности 1 1 равно (np np 1). Ïðè ýòîì, åñëè np j+1 = np j; то в матрице [A] блоки Jj( ) размерности j j будут отсутствовать.

Сформулируем полученные нами результаты в виде теоремы.

Теорема 6.4.1. (Спектральная теорема для одноточечного оператора) Для любого одноточечного оператора A 2 B(V) существует базис век-

торного пространства V, в котором матрица [A] оператора A имеет вид:

Определение 6.4.2. Вид (6.1) матрицы одноточечного оператора A назы-

вается нормальной формой Жордана или матрицей Жордана оператора

A, а соответствующий базис базисом Жордана.

118

6.5Нормальная форма Жордана линейного оператора

Пусть оператор A 2 B(V) имеет k различных собственных значений:

(A) = f 1; : : : ; kg:

Тогда векторное пространство V представимо в виде прямой суммы

причем для любого i = 1, . . . , k оператор A N(pi) имеет только одно соб-

i

ственное значение i. Используя результаты предыдущего пункта, полу- чим следующую теорему.

Теорема 6.5.1. (Спектральная теорема) Если оператор A 2 B(V) имеет k различных собственных значений:

(A) = f 1; : : : ; kg;

то существует базис векторного пространства V, в котором матрица [A] оператора A имеет вид:

Определение 6.5.2. Матрица вида (6.2) называется нормальной формой Жордана или матрицей Жордана оператора A, а соответствующий базис

базисом Жордана.

119

Замечание 6.5.3. Для матрицы Жордана J(A) оператора A имеем следующее.

Число n(A) жордановых клеток, с учетом повторов одних и тех же

клеток, равно максимальному числу линейно независимых собственных векторов оператора A.

Оператор A имеет простую структуру тогда и только тогда, когда n(A) = n = dim V.

Число жордановых клеток, отвечающих собственному значению ,

совпадает с его геометрической кратностью, т.е. с dim N (A).

Сумма порядков всех жордановых клеток, отвечающих собственному значению , совпадает с его алгебраической кратностью.

Порядок наибольшей жордановой клетки, отвечающей собственному значению , совпадает с кратностью числа как корня минимального многочлена оператора A.

Замечание 6.5.4. Оператор

B = B1 u u Bk;

ãäå Bi = (A iI) N(pi) , нильпотентный. Действительно,

i

Bn = B1n u u Bkn;

è ïðè n > pi

Bin = Bpi Bn pi = 0:

Следовательно, при достаточно больших n имеем Bn = 0.

Упражнение 6.5.5. Любой оператор A 2 B(V) однозначно представим в виде

A = S + B;

где S оператор простой структуры, а B нильпотентный оператор, причем операторы S и B коммутируют:

SB = BS:

Такое представление оператора A называется разложением Данфорда.

120