MuratovSamoylenko

доказано. Аналогично доказывается существование инвариантных подпространств Mn 3, . . . , M1 размерностей (n 3), (n 4), . . . , 1, для которых

f0g = M0 M1 Mn 3 Mn 2 Mn 1 Mn = V:

Теорема 5.5.2. Для любого линейного оператора A, действующего в n- мерном векторном пространстве V, существует базис, в котором матрица [A] оператора A имеет верхнетреугольный вид:

Доказательство. Рассмотрим для оператора A максимальную цепь инвариантных подпространств

f0g = M0 M1 Mk Mn 1 Mn = V

и построим базис fe1; : : : ; eng пространства V следующим образом. В ка- честве вектора e1 возьмем любой ненулевой вектор из M1, в качестве век- òîðà e2 любой ненулевой вектор из M2, не принадлежащий M1, è ò.ä., в качестве вектора ek возьмем любой ненулевой вектор Mk, не принад- лежащий Mk 1, 3 6 k 6 n. Рассмотрим матрицу [A] оператора A в этом базисе. Так как вектор ek принадлежит инвариантному подпространству Mk, если разложить вектор Aek в по векторам e1; : : : ; ek, то в разложении

Aek = 1ke1 + + nken

коэффициенты при ei должны равняться нулю при всех i > k. Следовательно, в этом базисе матрица [A] оператора A имеет верхнетреугольный вид (5.1).

Базис fe1; : : : ; eng векторного пространства V называется базисом треугольного представления оператора A или базисом Шура, а само представление (T ) треугольной формой Шура матрицы линейного оператора A

или представлением Шура.

Замечание 5.5.3. Отметим следующие полезные факты.

Утверждение теоремы 5.5.1 означает, что любая квадратная матрица подобна верхнетреугольной матрице.

91

Рассматривая построенный базис в обратном порядке, получим, что матрица [A] оператора A имеет нижнетреугольный вид и, соответ-

ственно, что каждая квадратная матрица подобна нижнетреугольной матрице.

Если в некотором базисе матрица [A] оператора A имеет верхнетре-

угольный (нижнетреугольный) вид, то ее диагональные элементы совпадают с собственными значениями оператора A даже с учетом их кратности.

Упражнение 5.5.4. Åñëè M1 è M2 инвариантные подпространства оператора A 2 B(V) такие, что

M1 M2; dim M2 dim M1 > 1;

то существует промежуточное инвариантное подпространство M такое,

÷òî

M M2; M 6= M1; M 6= M2:

Для того, чтобы базис fe1; : : : ; eng векторного пространства V был базисом треугольного представления оператора A, необходимо и достаточно, чтобы линейные оболочки

Mk = l(e1; : : : ; ek) = Che1; : : : ; eki; k = 1; : : : ; n

были инвариантными подпространствами оператора A.

Рассмотрим треугольную форму Шура класса нильпотентных операторов.

Определение 5.5.6. Линейный оператор B 2 B(V) называется нильпотентным, если для некоторого натурального числа r выполняется равенство: Br = 0; ò.å., Brx = 0 для любого x 2 V.

Утверждение 5.5.7. Если оператор B нильпотентный, то (B) = f0g.

Доказательство. Пусть B нильпотентный оператор, Br = 0, 2 (B) и x 2 V соответствующий ненулевой собственный вектор:

Bx = x; x 6= 0:

Тогда

Brx = rx = 0;

è òàê êàê x 6= 0, òî = 0.

92

Пусть B нильпотентный оператор. Рассмотрим базис векторного пространства V, в котором матрица [B] оператора имеет треугольную форму. В силу замечания 5.5.3, диагональные элементы матрицы [B] совпадают с собственными значениями оператора B с учетом их кратности.

Но так как все собственные значения нильпотентного оператора равны нулю, то треугольная форма Шура оператора B имеет вид:

@.. n 1;nA

0 0

Из приведенных рассуждений непосредственно получается следствие.

Следствие 5.5.8. Если оператор B нильпотентный, то tr B = 0:

Замечание 5.5.9. Обратное утверждение неверно. Действительно, пусть dim V = 2 и оператор B в некотором базисе имеет матрицу

0 1 [B] = 1 0 :

Тогда tr B = 0, в то время как оператор B не является нильпотентным:

B2 = I; B3 = B; B4 = I; : : : :

Следствие 5.5.10. Если оператор B нильпотентный, то tr Bk = 0, k = 1, 2, . . . .

Верно и обратное к следствию 5.5.10 утверждение. А именно: из равенств tr Bk = 0, k = 1, 2, . . . следует нильпотентность оператора B.

Утверждение 5.5.11. Оператор B нильпотентный тогда и только тогда, когда tr Bk = 0 äëÿ âñåõ k = 1, 2, . . . .

Доказательство. Для нильпотентного оператора B выполняется tr Bk = 0 для всех k = 1, 2, . . . (следствие 5.5.10). Докажем обратное утверждение. Выберем базис, в котором матрица [B] оператора B имеет треугольную форму. Согласно замечанию 5.5.3 диагональные элементы матрицы [B] являются собственными числами B, причем каждое число k встречается столько раз, какова его кратность nk. Пусть 1, . . . , m

левые собственные значения оператора B, n1, . . . , nk

93

Возведя матрицу [B] в произвольную степень k, получим опять верх- нетреугольную матрицу [B]k, ненулевыми диагональными элементами ко-

Поскольку при различных ненулевых 1, . . . , m определитель Вандер-

n1 = = nm = 0:

Утверждение 5.5.12 (Теорема Н.Джекобсона). Если A, B 2 B(V) такие, что [A; [A; B]] = 0, то [A; B] нильпотентный оператор.

Доказательство основано на следующей лемме.

Лемма 5.5.13. Пусть [A; [A; B]] = 0. Существуют операторы Bk такие, ÷òî [A; B]k = [A; Bk].

Доказательство. Доказательство проведем по индукции. Очевидно, что B1 = B. Пусть [A; B]k 1 = [A; Bk 1]. Тогда, учитывая A[A; B] = [A; B]A,

имеем

[A; B]k = [A; B]k 1[A; B] = [A; Bk 1][A; B] = (ABk 1 Bk 1A)[A; B] = A(Bk 1[A; B]) (Bk 1[A; B])A = [A; Bk];

где положено Bk = Bk 1A[A; B].

Доказательство теоремы Джекобсона. Из доказаной леммы по утверждению 4.2.18 следует, что tr[A; B]k = 0 при всех k = 1, 2, . . . , тогда

согласно утверждению 5.5.11 [A; B] нильпотентный оператор.

Замечание 5.5.14. Одному и тому же оператору в различных базисах могут соответствовать различные верхнетреугольные матрицы с одинаковыми диагоналями. Таким образом, форма Шура оператора определяется неоднозначно.

94

Упражнение 5.5.15. Показать что матрицы

подобны.

95

Глава 6

Нормальная форма линейного оператора

6.1Прямая сумма операторов

Пусть пространство V разложено в прямую сумму подпространств M и N:

V = M u N:

Для любого вектора x 2 V имеет место единственное разложение

x = xM + xN;

ãäå xM 2 M, xN 2 N.

Рассмотрим операторы B 2 B(M) и C 2 B(N). Оператор A, определя-

емый равенством

Ax = BxM + CxN

называется прямой суммой операторов B и C и обозначается

A = B u C:

Если одно из подпространств M или N тривиальное, то и прямая сумма

называется тривиальной.

Легко видеть, что A 2 B(V). Оператор A может быть представлен в виде прямой суммы операторов, определенных на подпространствах M и N, единственным образом. Действительно, для любого x 2 M имеем:

Ax = Bx:

96

Аналогично, для любого x 2 N имеем:

Ax = Cx:

Это означает, что B = A M è C = A N è

A = A M u A N:

Рассмотрим теперь произвольный линейный оператор A 2 B(V). Если векторное пространство V раскладывается в прямую сумму подпространств M и N, инвариантных относительно оператора A, то и сам оператор A можно разложить в прямую сумму. Действительно, построим ин-

дуцированные операторы A M è A N. Тогда для любого вектора x 2 V, такого, что

x = xM + xN;

ãäå xM 2 M, xN 2 N, мы имеем:

Ax = A MxM + A NxN:

Если инвариантные подпространства M и N нетривиальные, то оператор A называется разложимым. В этом случае, согласно теореме 5.1.3, характеристический многочлен оператора A равен произведению харак-

теристических многочленов индуцированных операторов A M è A N. Разложение оператора A в прямую сумму можно осуществить с помо-

щью произвольного операторного многочлена. Пусть

p(z) = a0 + a1z + + akzk

многочлен из P[C]. Обозначим, как и выше,

Km = Kpm(A) = Ker pm(A); m = 1; 2; : : : :

В силу утверждения 5.4.1, Km инвариантные относительно оператора A подпространства и

K1 K2 K3 : : : :

Утверждение 6.1.1. Åñëè Kr = Kr+1 для некоторого r, то Km = Kr для любого m > r.

Доказательство. Пусть m > r и x 2 Km. Тогда

0 = pm(A)x = pr+1(pm r 1(A)x):

97

Следовательно, pm r 1(A)x 2 Kr+1 = Kr. Поэтому pr(pm r 1(A)x) = pm 1(A)x = 0;

ò.å. x 2 Km 1. Поэтому, Km 1 = Km. Рассуждая аналогично, получим:

Km = Km 1 = Km 2 = = Kr+1 = Kr:

Пространство V конечномерно. Поэтому размерности подпространств

Km не могут неограничено возрастать. Обозначим через r наименьшее натуральное число, для которого

Kr = Kr+1:

Тогда имеем

K1 K2 Kr = Kr+1 = Kr+2 = : : : :

Обозначим

Rm = Rpm(A) = Ran pm(A); m = 1; 2; : : : :

Утверждение 6.1.2. Имеет место равенство

Kr \ Rr = f0g:

Доказательство. Пусть x 2 Kr \ Rr. Тогда pr(A)x = 0 è x = pr(A)y для некоторого y 2 V. Следовательно,

p2r(A)y = pr(A)(pr(A)y) = pr(A)x = 0;

ò.å. y 2 K2r = Kr. Следовательно,

x = pr(A)y = 0:

Утверждение 6.1.3. Имеет место равенство

Kr u Rr = V:

Доказательство. В силу теоремы 2.2.2,

dim Kr + dim Rr = dim Ker pr(A) + dim Ran pr(A) = dim V:

С другой стороны, в силу утверждения 6.1.2, Kr \ Rr = f0g. Поэтому

Kr u Rr = V:

98

Замечание 6.1.4. Отметим следующие полезные факты.

Подпространства Kr è Rr инвариантны относительно оператора A,

поэтому его можно разложить в прямую сумму операторов A Kr è A Rr . Однако это разложение может быть тривиальным.

Все собственные векторы оператора A должны находиться в под-

пространствах Kr è Rr. При этом те из них, которые соответствуют собственным значениям 2 (A), для которых p( ) = 0, принадле-

æàò Kr, а те из них, которые соответствуют собственным значениям2 (A), для которых p( ) 6= 0, принадлежат Rr.

Каждый корень характеристического многочлена оператора A Kr является корнем многочлена p(z); ни один из корней характеристи-

ческого многочлена оператора A Rr не является корнем многочлена p(z).

Пусть характеристический многочлен PA(z) оператора A 2 B(V) разложен в произведение многочленов p(z) и q(z), не имеющих

общих корней. Тогда оператор A единственным образом можно разложить в прямую сумму операторов B и C с характеристическими многочленами PB(z) = p(z) è PC(z) = q(z).

Доказательство. Рассмотрим разложение оператора A в прямую сумму с помощью многочлена p(z):

A = A Kr u A Rr

Òàê êàê

PA Kr (z)PA Rr (z) = PA(z)

è PA Kr (z) = p(z), PA Rr (z) = q(z), то по крайней мере одно разложение указанного вида существует.

Предположим, что пространство V разложено каким-либо другим образом в прямую сумму инвариантных подпространств K и R оператора A:

V = K u R;

причем PA K(z) = p(z) è PA R(z) = q(z).

Согласно теореме 5.4.4, если все собственные значения индуцированного на K оператора A K являются корнями многочлена p(z), то существует такое k0, ÷òî

K Kpk(A) = Ker pk(A) = Kk

99

для всех натуральных значений k > k0. Поэтому K Kr. Оператор p(A) является невырожденным на R, поэтому

p(A)R = R:

Следовательно, R Rm для всех m = 1; 2; : : : и потому R Rr. Íî

V = K u R = Kr u Rr:

Поэтому включения K Kr è R Rr возможны лишь в случае, когда

K = Kr; R = Rr:

6.2Корневые подпространства оператора

Представим характеристический многочлен PA(z) оператора A в канони- ческом разложении:

PA(z) = ( 1)n(z 1)k1 : : : (z m)km ;

ãäå 1; : : : ; m попарно различные собственные значения оператора A, кратности которых k1; : : : ; km соответственно, и

k1 + + km = n = dim V:

Кратность ki числа i как корня характеристического многочлена PA(z) называется алгебраической кратностью собственного значения i.

Упражнение 6.2.1. Если линейные операторы A и B подобны, то алгеб-

раические кратности соответствующих собственных значений этих операторов равны.

Рассмотрим многочлены

pki (z) = (z i)ki ; i = 1; : : : ; m:

Они являются делителями характеристического многочлена PA(z) и никакая пара из них не имеет общих корней. Тогда непосредственно из теоремы 6.1.5 получаем следствие.

Следствие 6.2.2. Для любого оператора A 2 B(V) существуют такие инвариантные подпространства W1, . . . , Wm, ÷òî

100