6. Структурные средние (мода, медиана, дециль, квартиль) Мода и медиана

Мода и медиана - две особые разновидности средних величин, которые вытекают из характеристики статистических рядов. Они называются структурными средними и дают некоторое представление о структуре изучаемой совокупности.

При нормальном распределении мода, медиана и средняя совпадают по величине.

Мода и медиана, в отличие от средней, не связаны со всеми значениями признака.

Мода - значение признака наиболее часто встречающееся в ряду распределения или вариант с наибольшей частотой. Мода представляет собой наиболее типичное значение случайной величины.

Для отыскания моды в статистической совокупности необходимо знать распределение единиц совокупности по вариантам признака.

В дискретном вариационном ряду распределения мода определяется визуально, т.е. на глаз.

Оценка	2	3	4	5
количество студентов	4	10	12	5

М₀=4 f_M0=12

При наличии одной моды в ряду распределения распределение называется унимодальным. В ряду распределения может оказаться 2 и более моды. При этом ряд распределения называется соответственно бимодальным и мультимодальным.

Наличие нескольких мод часто означает объединение в одной совокупности разнокачественных единиц и возможность (необходимость в отдельных случаях) разделения последних на подгруппы.

Определение мод в интервальном ряду распределения

В равно интервальном ряду распределения мода определяется по формуле:

M₀=x₀+d[(f_M0-f_M0-1)/{(f_M0-f_M0-1)+(f_M0-f_M0+1)}]

x₀ - нижняя граница модального интервала

d - величина интервала

f_M0 - частота модального интервала

f_M0-1 - частота интервала, предшествующий. модальному.

f_M0+1 - частота интервала, следующего за модальным

х	f
0-5	8
5-10	22
10-15	12
15-20	5
20-25	3
Итого	50

М₀=5+5(22-8)/[(22-8)+(22-12)]=7,9

После произведения расчетов необходимо проверить, попала ли мода в необходимый интервал.

Медиана - значение признака, приходящееся на середину ранжированного (упорядоченного) ряда. Она делит ряд на 2 равные по объему части. По разному определяется для дискретного и интервального рядов распределения.

Определение медианы в дискретном ряду распределения

1)	Размер обуви	№ наблюдения
	34	1
	35	2
	36	3
	37	4
	38	5
	39	6
	40	7

№_ме=(7+1)/2 Ме=37

Размер обуви	№ наблюдения
34	1
35	2
36	3
37	4
38	5
39	6

№_ме=(6+1)/2=3,5 Ме=(36+37)/2=36,5

2)

Оценка	2	3	4	5	Итого
Кол-тво студентов	6	8	10	7	31
0+6	6+8	14+10	24+7
SH	6	14	24	31	-

Для того чтобы определить медиану необходимо найти накопленные частоты S_H.

№_ме=(n+1)/2=(31+1)/2=16 Ме=4

Расчет медианы в интервальном ряду распределения

Производится по формуле

Me= x₀+d[{(f)/2-S_H-1}/f_Me]

x₀ - нижняя граница медианного интервала

d - величина интервала

(f)/2 - половина объема совокупности

S_H-1 - накопленная частота, предшествующая медианному интервалу

f_Me - частота медианного интервала

Группы рабочих по размеру дневного заработка, руб.	Кол-во рабочих, чел.	SH
до 80	100	100
80,0-100,0	200	300 Q1
100,0-120,0	400	700 медиан. интервал
120,0-140,0	100
свыше 140	200
Итого	1000

Для того чтобы найти Ме в интервальном ряду распределения необходимо найти медианный интервал. Он определяется с помощью накопленных частот

Ме=x₀+d[{(f)/2-S_H-1}/f_Me]=100+20[(500-300)/400]=110 (руб.)

Рассчитав медиану, смотрим попала ли она в медианный интервал.