discr_math
.pdf1
Раздел 1
Множества. Отображения. Отношения на множестве
1.1. Понятие множества
При изложении теории множеств мы будем придерживаться так называемой интуитивной точки зрения, согласно которой такие понятия, как «множество», «элемент множества», относятся к на-
чальным (примитивным) понятиям математики и поэтому не подле-
жат определению.
Математическое понятие множества постепенно выделилось из привычных представлений о совокупности, собрании, классе и т.д.
Один из создателей теории множеств – Георг Кантор1 представлял множество как «совокупность или набор определенных и различи-
мых между собой объектов, мыслимых как единое целое».
С понятием множества мы соприкасаемся прежде всего тогда,
когда по какой-либо причине объединяем по некоторому признаку в
2
одну группу какие-то объекты и далее рассматриваем эту группу или совокупность как единое целое.
Множества принято обозначать заглавными латинскими бу-
квами. Объекты, которые образуют множество, называют элемен-
тами множества и для обозначения элементов используют, как пра-
вило, малые буквы латинского алфавита. Если a является элемен-
том множества M , то будем говорить, что a принадлежит множе-
ству M , и использовать запись a M , в противном случае, если a
не принадлежит множеству M , будем использовать обозначение a M .
В различных приложениях дискретной математики чаще всего встречаются конечные множества. Интуитивный смысл этого тер-
мина ясен: такие множества содержат конечное число элементов.
Число элементов конечного множества A называют мощностью
этого множества и обозначают символом Card A или | A|. Наряду с конечными множествами в математике рассматривают и бесконеч-
ные множества, то есть такие, которые содержат бесконечно много элементов. Так, например, бесконечно множество натуральных чи-
сел N, множество рациональных чисел Q, множество действитель-
ных чисел R.
1 Кантор Георг (1845-1918) – немецкий математик, основатель теории множеств.
3
Способы задания множеств
1. Множество может быть задано перечислением всех его эле-
ментов или списком. В этом случае элементы множества записыва-
ют внутри фигурных скобок, например: А 1,2,a,x или B { ре-
ка Нил, город Москва, планета Уран }.
2. Множество может быть задано описанием свойств его эле-
ментов. Чаще всего при этом используют запись A x| P x , кото-
рую читают следующим образом: «A есть множество элементов x
таких, что для них выполняется свойство P x ».
Например, B {x| x – натуральное число, меньшее 10 }, при этом,
очевидно, B 1,2,3,4,5,6,7,8,9 .
3. Множество можно задать порождающей процедурой, напри-
мер:
D {z|1 D, и если z D , то z 3 D },
E {x| x 3k , k любое натуральное число}.
Наряду с порождающей процедурой существует распознающая
или разрешающая процедура, которая позволяет определить, при-
надлежит ли данный объект множеству или нет. Для множества D
распознающая процедура заключается в том, что для любого нату-
рального числа n будут проверять, является ли число 3 делителем числа n 1. Для множества E распознающая процедура заключает-
ся в разложении числа на простые множители.
4
Пустое и универсальное множества
Определение 1.1. В теории множеств отдельно вводится множество,
которое не содержит ни одного элемента. Такое множество называ-
ется пустым и обозначается символом .
В любой конкретной задаче приходится иметь дело только с под-
множествами некоторого, фиксированного для данной задачи, мно-
жества. Его принято называть универсальным (универсумом) и обо-
значать символом U.
Например, при сборке некоторого изделия универсальным множеством естественно назвать множество всех деталей и сбороч-
ных элементов, из которых это изделие состоит.
Если мы рассматриваем множества, связанные с какими-
нибудь фигурами на плоскости, то в качестве универсального мно-
жества можно выбрать множество всех точек плоскости.
Определение 1.2. Два множества A и B называются равными
(A B), если они состоят из одних и тех же элементов. Поэтому не-
существен порядок записи в фигурных скобках элементов множест-
ва, задаваемого списком, т.е. {a, b, c} {a, c, b}.
Операции над множествами
Определение 1.3. Множество A называется подмножеством мно-
жества B , если любой элемент множества A принадлежит множе-
ству B . При этом пишут A B, где « » есть знак вложения под-
5
множества. Из определения следует, что для любого множества A
справедливы, как минимум, два вложения A A и A U .
Определение 1.4. Если A B и А В , A , то A называется
собственным подмножеством множества B . В этом случае B со-
держит хотя бы один элемент, не принадлежащий A.
В теории множеств, по определению, полагают, что пустое мно-
жество является подмножеством любого множества: A.
Пустое множество и само множество A называются несобствен-
ными подмножествами множества A.
При графическом изображении множеств удобно использовать
диаграммы Венна, на которых универсальное множество обычно представляют в виде прямоугольника, а остальные множества в виде овалов, заключенных внутри этого прямоугольника (рис 1.1).
U
B
A
Рис. 1.1 |
|
Определение 1.5. Объединением множеств |
A и B (обозначение |
A B ) называется множество элементов x |
таких, что x принад- |
6
лежит хотя бы одному из двух множеств A или B (рис 1.2). Симво-
лически это можно записать следующим образом:
A B {x| x A или x B}.
U
A B
Рис. 1.2
Определение 1.6. Пересечением множеств A и B (обозначение
A B ) называется множество, состоящее из элементов x, которые принадлежат и множеству A и множеству B (рис. 1.3):
A B {x| x A и x B}.
U
A B
Рис. 1.3
Определение 1.7. Разностью множеств A и B называется множе-
ство всех тех элементов множества A , которые не принадлежат множеству B (рис. 1.4):
A \ B {x| x A и x B }.
7
U
A B
Рис. 1.4
Определение 1.8. Симметрической разностью множеств A и B
называется множество A B A \ B B \ A (рис. 1.5).
U
A B
Рис. 1.5
Определение 1.9. Абсолютным дополнением множества A называ-
ется множество всех элементов, не принадлежащих A , т.е. множе-
ство A U \ A , где U – универсальное множество (рис. 1.6).
U
A
Рис. 1.6
8
В дальнейшем вместо термина «абсолютное дополнение» мы будем
употреблять термин «дополнение». |
|
||
Пример 1.1. Если |
U {a, b, c, d, e, f , g, h}, |
A { c, d, e}, |
|
B {a, c, e, f , h}, то |
|
|
|
A B {a, c, d, e, f , h}, |
A B {c, e}, |
A \ B {d}, |
|
A B {a, d, f , h}, |
|
{a, b, f , g, h}. |
|
A |
|
Свойства операций
Для любых множеств A,B,C выполняются следующие тождества:
1.A B B A , A B B A
(коммутативность объединения и пересечения);
2. A B C A B C , |
A B C A B C |
(ассоциативность объединения и пересечения);
3.A B C A B A C ,
A B C A B A C
(дистрибутивность пересечения относительно объединения
иобъединения относительно пересечения);
4.A A A , A A A
(идемпотентность объединения и пересечения);
5.A U U , A U A , A A, A ,
A A U , A A
(свойства универсального и пустого множеств);
6.(A) A
9
(закон двойного дополнения);
7.A B A B , A B A B
(законы де Моргана) .
Посмотрим, как доказываются свойства операций над мно-
жествами. Прежде всего отметим, что, согласно определению, для доказательства равенства двух множеств E F необходимо устано-
вить справедливость двух вложений E F и F E .
Теперь приведем доказательства, например, третьего и седь-
мого свойств.
Доказательство равенства: A B C A B A C .
► Покажем сначала, что A B C |
A B A C . |
Пусть x A B C . Это означает, что x A |
и x B C , по- |
этому x A и x принадлежит хотя бы одному из двух множеств B
или C .
Если |
мы предположим, что |
x В, то x A B и, следова- |
тельно2, |
x A B A C . |
Если же предположить, что x C , |
то x A C и поэтому x A B A C . Таким образом, вло-
жение A B C A B A C доказано.
Докажем справедливость обратного вложения:
A B C A B A C .
2 Если x A B, то x A B D, где символом D обозначено
любое множество. В данном случае D A C.
10 |
|
|
|
Пусть |
x A B A C , это означает, |
что x |
принадлежит |
хотя бы |
одному из двух множеств A B |
или |
A C . Если |
x A B , то x A и x B . Следовательно, x A и x B C , т.е. x A B C .
Если же x A C , то x A и x C , и тогда x A и x C B ,
т.е. x A C B A B C . ◄
Доказательство седьмого свойства: A B A B .
► Пусть x A B x U \ A B 3 x U и x A B
x U , x A и x B x U \ A A и x U \ B B x A B .
Аналогично доказывается обратное вложение. Пусть x A B
x A и x B x U \ A и x U \ B x U, x A и x B
x U и x A B x U \ A B A B.◄
Наряду с объединением и пересечением двух множеств можно рассматривать объединение и пересечение любого конечного
(или бесконечного) числа множеств. При этом обычно используют
следующие формы записи: |
|
k |
|
B Ai , |
С Ai . |
i 1 |
i 1 |
3 - знак логического следования; запись P Q читают следующим
образом: «из P следует Q » или «если справедливо P , то справедливо и
Q ».