discr_math

50

но; заменим дизъюнкцией, – конъюнкцией; разность любых двух множеств S \T S T можно заменить формулой s t .

В результате, если равенство (3.20) выполняется для произ-

вольных множеств, то ему должна соответствовать общезначимая

логическая формула:

и с помощью эквивалентных преобразований приведем правую часть формулы (3.22) к ее левой части:

xy xz x(y z) x(y z) x yz .

Таким образом, равенство (3.31) является общезначимой ло-

гической формулой, и вместе с этой формулой доказано исходное равенство для множеств. Отметим, что вместо проведения преобра-

зований можно было бы в (3.21) построить таблицу истинности пра-

вой и левой частей равенства и убедиться в том, что эквиваленция xyz xy xz есть тавтология.

Пример 3.31. Выяснить, в каком отношении находятся множества

(A B) \ C и A (B \C). Первому из перечисленных множеств можно поставить в соответствие формулу F1 (x y) z , а вто-

рому – формулу F2 x (y z). Теперь составим таблицу истин-

ности двух импликаций (табл. 3.23):

53

ет получать новые соотношения равенства из уже известных (срав-

Определение 3.15. Функция, удовлетворяющая условию f (x1,x2, ,xn) f (x1,x2, ,xn),

называется самодвойственной.

Простейшей самодвойственной функцией является отрица-

ние f (x) x. Другой широко известный пример представлен само-

двойственной функцией f (x, y,z) xy xz yz (для проверки само-

двойственности последней функции достаточно построить соответ-

ствующие таблицы истинности).

На практике при построении двойственных функций часто используют принцип двойственности, который состоит в следую-

щем: если исходная функция f (x1, ,xn) представлена формулой,

содержащей лишь конъюнкции, дизъюнкции и отрицание, то для построения f (x1, ,xn) достаточно лишь заменить каждую дизъ-

юнкцию конъюнкцией, и наоборот.

54

Пример 3.33. Построить двойственную функцию f (x, y,z), если

f (x, y,z) xyz xy . Заменяя все дизъюнкции конъюнкциями и на-

оборот, получим функцию, двойственную функции f (x, y, z). f (x, y,z) (x y z)(x y) .

Полные системы логических функций

Определение 3.16. Система функций называется функционально полной системой, если любая логическая функция может быть пред-

ставлена в виде суперпозиции функций из , т.е. как формула над .

При исследовании свойств полноты важное значение имеет следующая теорема, которую мы приводим без доказательства.

Теорема 3.8. Если любая функция системы представлена форму-

~

лой над некоторой другой системой и система функциональ-

~

но полная, то также будет функционально полной.

~

Если система и удовлетворяют условиям теоремы, то

~

мы будем говорить, что система сводится к системе .

Пример 3.34. Поскольку для любой логической функции существу-

ет представление этой функции в совершенной дизъюнктивной нор-

мальной форме (СДНФ, теорема 3.2), система функций

55

∑ 1 { , ,¬},

содержащая только конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание, являет-

4 При использовании отрицания без переменной мы употребляем символ ¬. В строке с переменными отрицание будем записывать в виде x .

56

Шеффера обозначают функцию (x1 x2 ) . Отрицание ¬ и конъюнк-

цию нетрудно записать с помощью одного только штриха Шеффера:

x (x x) x| x ,

x1 x2 (x1 | x2) (x1 | x2)|(x1 | x2),

поэтому система 2 сводится к 5 .

Дизъюнкцию и отрицание выразим с помощью стрелки Пир-

са x1 x2 (x1 x2 ):

x (x x) x x ,

x1 x2 (x1 x2) (x1 x2) (x1 x2),

и система 6 сведена к полной системе 3 .

Пример 3.37. Система 7 { , ,1}, где представляет сложение

можностью представления логической функции в виде полинома

(многочлена) Жегалкина.

57

Полиномом Жегалкина называют любую логическую функ-

цию, записанную в символах сложения по модулю 2 и конъюнкции.

Следующая формула задает общий вид такого полинома:

В формуле (3.26) множество индексов {i1,i2 , ,im } есть элемент булеана множества {1,2, , n}. Суммирование по модулю два в

(3.26) проводится по всем элементам булеана, причем пустому под-

множеству булеана соответствует коэффициент a0 .

Пример 3.38. При n 3 произвольный полином Жегалкина имеет

вид:

f (x1,x2,x3) a123 x1 x2 x3 a12 x1x2 a13 x1x3 a23 x2 x3

a1x1 a2 x2 a3 x3 a0 . (3.27)

Следующая формула (3.28) представляет линейный полином Жегал-

кина (многочлен первой степени):

f (x1, ,xn) an xn an 1 xn 1 a1 x1 a0

n

(mod2) ai xi a0 . (3.28)

i 1

Пример 3.39. Записать в виде полинома Жегалкина логическую

функцию x1x2 x1 x2 .

Сначала отметим, что для операции сложения по модулю 2

справедливы следующие равенства (все эти равенства нетрудно под-

58

твердить, составив соответствующие таблицы значений логических функций)

x1 x2 x2 x1 ,

x1(x2 x3) x1x2 x1x3 .

Теперь выразим дизъюнкцию через операцию :

x1 x2 x1x2 (x1 1)(x2 1) (x1 1)(x2 1) 1

Нетрудно построить представление логической функции в виде полинома Жегалкина и в том случае, когда функция задается таблицей истинности.

Пример 3.40. Построить полином Жегалкина функции f (x1,x2,x3),

заданной таблицей 3.26.

59

Поскольку функция зависит от трех переменных, общий вид поли-

нома Жегалкина задается равенством (3.27). Подстановка в (3.27)

наборов значений переменных (x1,x2,x3) — последовательностей нулей и единиц, приводит к следующим соотношениям для коэффи-

циентов полинома:

f (1,1,1) a123 a12 a13 a 23 a 1 a 2 a 3 a 0 .

Для вычисления коэффициентов многочлена необходимо

уметь решать простейшие уравнения над полем Z2 . Таблица 3.27

решений таких уравнений согласована с таблицей 3.20.