discr_math

Табл. 1.1

Булевы матрицы

В предыдущем примере мы видели, что соответствие на множестве можно представить (задать) некоторой матрицей из ну-

лей и единиц.

Матрицы, каждый элемент которых равен нулю или единице, назы-

ваются булевыми, и эти матрицы широко используются в различных разделах дискретной математики.

Существуют специальные правила сложения и умножения буле-

вых матриц. Сама процедура сложения и умножения двух булевых

22

матриц подчиняется известным правилам линейной алгебры, однако законы сложения и умножения элементов матриц задают спе-

циальным образом (согласно приведенным ниже таблицам). Здесь мы впервые встречаемся с так называемыми «логическими» сложе-

нием и умножением. В математической логике аналог операции сложения называется «дизъюнкцией» и обозначается символом , а

аналог операции умножения – «конъюнкцией» (обозначение ).

Подробнее о логических операциях речь пойдет в третьей главе, а

пока ограничимся двумя таблицами 1.2 и 1.3 (символу соответст-

вует логическое сложение, а символу логическое умножение эле-

ментов).

Отметим, что логическое сложение и умножение обладают традици-

онными свойствами коммутативности, ассоциативности и дистрибу-

тивности.

Пример 1.12. Логическая сумма двух булевых матриц

имеет следующий вид:

23

Теперь вычислим произведение булевых матриц E1 E2 (мы специ-

ально используем в качестве символа умножения знак , поскольку запись E1 E2 соответствует поэлементному логическому умноже-

нию двух квадратных матриц одного и того же порядка):

Поясним процедуру вычисления произведения двух булевых матриц на примере элементов m11 , m23 и m33 матрицы M :

m11 (0 1) (1 0) (0 0) 0 0 0 0 ;

m23 (1 0) (1 1) (0 1) 0 1 0 1 ;

m33 (0 0) (1 1) (1 1) 0 1 1 1 .

Композиция соответствий

Определение 1.21. Пусть заданы три множества X , Y и Z и два соответствия – G1 X Y и G2 Y Z . Композицией соответст-

вий G1 и G 2 называется подмножество G 3 прямого произведения

X Z : G 3 G2 G1 {(x,z) | (x, y) G1, (y,z) G2 }.

24

Отметим, что композиция G2 G1 , если пересечение

DomG2 ImG1 .

Пример 1.13. Предположим, что некоторые товары поставляются из пяти стран (Англии, Франции, Германии, Италии, Испании) на три оптовые базы в Москве (I-ая, II-ая, III-я оптовые базы), а затем уже с этих оптовых баз поступают на продажу в четыре магазина. Пусть

X UK,Fr,Ger,It,Sp есть множество стран, Y I,II,III – мно-

жество оптовых баз, Z 1,2,3,4 – множество магазинов. Тогда любое соответствие G1 X Y характеризует поставки товаров из

рядом с рисунками мы записываем матрицу каждого соответствия:

жет ответить на вопрос: какие страны поставляют товары в каждый из магазинов? Матрицу композиции M вычисляют как произведе-

ние двух булевых матриц M M1 M2 (сравните вид этого произ-

ведения с равенством G G2 G1 ). На рис. 1.10 мы приводим граф композиции G и матрицу композиции.

26

Отображения

Определение 1.22. Соответствие G X Y называется отображе-

нием, если область определения соответствия совпадает с множест-

вом X (т.е. DomG X или пр1G X ).

Определение 1.23. Отображение называется функциональным (или

однозначным), если любое сечение G |x содержит только один эле-

мент.

Для функционального отображения обычно вводят следующие

Образ элемента x0 X обозначают символом f x0 , а прообраз элемента y0 Y – символом f 1 y0 , при этом, согласно приведен-

ному выше определению, f 1 y0 x | f x y0, x X .

Определение 1.25. Для заданного функционального отображения f : X Y образом множества A X называют множество

f A y | y f x , x A .

Прообраз множества B Y определяют равенством:

29

Пример 1.17. Произвольное функциональное отображение N R

задает некоторую числовую последовательность:

an an | an R, n N .

Пример 1.18. Предположим, что C[a;b] есть множество вещест-

венных функций x , непрерывных на некотором фиксированном отрезке a,b R. Тогда отображение

b

x x dx

a

является функциональным.

Пример 1.19. Пусть E,F,G - подмножества R. Функциональное отображение f : E F G ставит в соответствие каждой упорядо-

ченной паре x, y E F некоторый элемент z G . В этом случае используют запись z f x, y , обычно двойные скобки заменяют одинарными z f x, y и говорят о функции двух переменных.

Еще одно широко известное отображение в теории множеств

связано с понятием характеристической функции.

Предположим, что задано непустое множество E и его под-

множество A E . Характеристической функцией подмножества

30

Очевидно, два подмножества A E и B E равны тогда и только тогда, когда A(x) B (x). Кроме этого, отметим следую-

щие свойства характеристической функции, которые выполняются для любого элемента x A и для любых двух подмножеств A E

и B E:

1) E (x) 1 и (x) 0;

2)E\ A(x) 1 A(x);

3)A B (x) A(x) B (x);

4)A B (x) A(x) B (x) .

В третьем и четвертом свойствах символами и обозна-

чены логические «умножение» и «сложение» соответственно (табл.

ческие функции A(x) и B (x) перечислением всех упорядоченных

пар значений:

A(x) {(a,1);(b,1);(c,0);(d,1);(e,0)},

B (x) {(a,0);(b,0);(c,1);(d,1);(e,0)}.

Теперь, используя логические операции, вычислим значения харак-

теристических функций объединения и пересечения двух множеств:

A B (x) A(x) B (x)