discr_math

41

следует, что f инъективно, а равенство f f 1 eY означает, что

fсюръективно, поэтому f является биекцией.

Обратно, предположим, что отображение f биективно. Тогда

для любого элемента y Y найдется единственный элемент x та-

где x удовлетворяет равенству f x y .

Покажем, что отображение g y функционально. Предположим

► Полагая в (1.1) g f 1 , получим два равенства:

Согласно лемме, первое равенство означает сюръективность f 1, а

ff 1 1 .◄

Взаключение этого раздела отметим без доказательства еще два свойства биективных отображений.

Пусть f : X Y и g :Y Z — биективные отображения.

Тогда:

1.композиция g f биективных отображений биективна;

2.g f 1 f 1 g 1.

43

1.3. Отношения на множестве

Отношения служат одним из способов задания взаимосвязи между элементами множества. Наиболее изученными и чаще всего используемыми являются так называемые унарные и бинарные от-

ношения. Для обозначения отношений мы будем использовать ма-

лые буквы греческого алфавита , , и т.д.

Унарное (одноместное) отношение соответствует наличию како-

го-то определенного признака (свойства) у элементов множества X

(например, признак «быть отрицательным» на множестве Z целых чисел). Все элементы, обладающие выделенным признаком, образу-

ют некоторое подмножество X . Это подмножество и назы-

вают унарным отношением на множестве X .

Бинарные (двуместные) отношения используют как характери-

стику некоторой взаимосвязи между элементами множества X .

Элементами бинарного отношения являются упорядоченные пары прямого произведения X X , и, следовательно, само бинарное от-

ношение может быть задано как некоторое подмножество прямого произведения X X .

Так, например, на множестве M всех студентов университета можно ввести следующее отношение «принадлежности к одному факультету»: M M и упорядоченная пара (a,b) тогда и

44

только тогда, когда студенты a и b обучаются на одном факульте-

те.

В общем случае можно рассматривать n местное отношение

как любое фиксированное подмножество прямого произведения

X n . При этом говорят, что элементы x1,x2 ,...,xn множества X

находятся в отношении , если упорядоченный набор

(x1,x2 ,...,xn ) . Примером такого отношения может служить от-

ношение «иметь длину, равную единице», на множестве векторов линейного пространства Rn .

Бинарные отношения

Определение 1.32. Бинарным отношением на множестве X назы-

вается любое подмножество X X прямого произведения.

Наряду со словами «элементы x и y множества X находятся в отношении », используют запись (x, y) (упорядоченная пара

(x, y) принадлежит ) или обозначение x y .

Пример 1.28. На множестве X жителей Москвы можно задать раз-

личные отношения:

{(x, y)| x является родственником y},

{(x, y)| x старше y },

{(x, y)| x и y добираются на работу одним видом транспорта}.

45

Бинарное отношение является частным случаем соответствия, и

так же, как и соответствие, может быть задано перечислением всех своих элементов, матрицей или графом.

Пример 1.29. На множестве X {2,3,4,6} введем отношение

{ (x,y) | x является делителем y }. Очевидно, отношение со-

держит следующие упорядоченные пары: { (2,2), (2,4), (2,6),

(3,3), (3,6), (4,4), (6,6)}. Мы можем составить таблицу отношения и

отношений множества A и B совпадают, поэтому нет смысла дваж-

ды изображать точки одного и того же множества X. Таким образом,

46

любое бинарное отношение может быть представлено более про-

стым графом. Условимся соединять на рисунке стрелкой вершины x

и y (точки x и y), если упорядоченная пара (x, y) принадлежит наше-

му отношению. Если же отношение содержит пару (x,x) , то в вер-

шине x нарисуем петлю. В итоге граф отношения примет вид, при-

веденный на рис. 1.18.

Пример 1.30. На булеане B (A) множества A {a,b} рассмотрим

отношение вложения {(B1,B2 )| B1 B2; B1,B2 B(A) }.

Отношение содержит следующие упорядоченные пары:

{ (Ø,Ø) , (Ø,{a}) , (Ø,{b}) ,

(Ø,{a,b}), ({a},{a}), ({b},{b}),

2 4

({a},{a,b}),({b},{a,b}), {a,b},{a,b})}.

Матрица отношения имеет вид

а граф отношения изображен

47

которое содержит только пары вида (x, x) для любого элемента x X .

Тождественное отношение на конечном множестве можно за-

дать единичной матрицей E, граф отношения содержит только петли в каждой из вершин.

Определение 1.34. Полным (универсальным) отношением на множе-

стве X называется отношение U X X .

Любой элемент матрицы полного отношения равен единице,

граф полного отношения содержит петли в каждой вершине, и для любых двух вершин x и y имеются дуги, проведенные как из x в y,

так и из y в x.

Пусть на множестве X задано отношение X X .

Определение 1.35. Обратным к отношению называют отноше-

ние 1 такое, что пара (x, y) принадлежит 1 тогда и только тогда,

когда пара (y, x) принадлежит .

Если отношение задано матрицей M, то отношению 1 со-

ответствует транспонированная матрица M T . Граф обратного от-

ношения 1 содержит те же петли, что и граф отношения , а на-

правление каждой дуги графа 1 противоположно направлению соответствующей дуги графа отношения .

Поскольку каждое отношение на X является подмножеством полного отношения, для отношений определены все операции над множествами. Так, например, мы можем рассматривать объедине-

48

ние, пересечение, разность двух отношений , X X . Опреде-

лено и дополнение U\ отношения до полного отношения.

Пример 1.31. На множестве X ={1, 2, 3, 4, 5 } введем следующие

отношения:

6) U X X - полное отношение.

Для перечисленных отношений справедливы следующие равенства:

Классификация бинарных отношений

лексивное отношение можно задать равенством eX eX . Отме-

тим также, что все элементы главной диагонали матрицы рефлек-

сивного отношения равны единице.

eX Ø).

Очевидно, все элементы главной диагонали матрицы антиреф-

лексивного отношения равны нулю.

Определение 1.38. Отношение называется симметричным, если для любой пары (x, y) из условия (x, y) следует, что пара

(y, x) .

Симметричное отношение можно задать равенством 1 , и,

конечно, матрица симметричного отношения также симметрична,

т.е. M T M .

Определение 1.39. Отношение антисимметрично, если для лю-

бых упорядоченных пар из условия (x, y) и (y, x) следует равенство x y .

Антисимметричное отношение можно охарактеризовать вложе-

нием 1 eX .

Определение 1.40. Отношение называется сильно антисиммет-

ричным (асимметричным), если для любой упорядоченной пары из условия (x, y) следует, что пара (y, x) .

Для сильно антисимметричного отношения пересечение

1 Ø. Кроме этого, из определения следует, что сильно анти-

симметричное отношение является антирефлексивным. Для любого

50

элемента матрицы сильно антисимметричного (и антисимметрично-

го) отношения при i j из условия mi j 1 следует равенство

m j i 0. В качестве примера рассмотрим два бинарных отношения,

заданных на множестве из трех элементов матрицами M1 и M2 .

Матрица M1 соответствует некоторому антисимметричному отно-

шению, а матрица M2 — сильно антисимметричному отношению:

Определение 1.41. Отношение называется транзитивным, если для любых двух пар из принадлежности (x, y) и (y,z) сле-

дует, что пара (x,z) .

Если булева матрица транзитивного отношения содержит эле-

менты mi k 1 и mk j 1, то обязательно должен равняться единице элемент mi j этой матрицы.

Еще один критерий транзитивности отношения мы приведем в следующем разделе.

Пример 1.32. Пусть N есть множество натуральных чисел. Рас-

смотрим три бинарных отношения:

1 {(x, y)| x, y N, и число x является делителем числа y};

2 {(x, y)| x, y N\{1}, и числа x и y имеют общий делитель,

отличный от 1};