discr_math

20

Пример 3.15. В формуле p q r заменим выражение p q эк-

вивалентным (p q) (эквивалентность следует из законов де Мор-

гана). Получим формулу, эквивалентную исходной: (p q r) ((p q) r) .

Пример 3.16. В формуле 0 p q p заменим p выражением

(p q) (p q) p (закон склеивания), причем эту замену прове-

дем только в правой части формулы. В результате получим эквива-

лентную формулу: 0 p q ((p q) (p q)).

Некоторые схемы логически правильных рассуждений

Напомним, что, согласно определению, формула G логиче-

ски следует из формулы F (F G ), если формула G истинна во всех тех интерпретациях, в которых истинна формула F .

Следующие две теоремы, которые мы приводим без доказа-

тельства, задают критерии справедливости логического следования.

Теорема 3.2. Пусть F1, ,Fn – формулы. Тогда

(F1 Fn ) G

в том и только в том случае, когда импликация (F1 Fn ) G

есть тавтология, т.е. ((F1 Fn ) G ) 1.

21

Теорема 3.3. Формула G логически следует из формулы F тогда и

только тогда, когда конъюнкция F1 Fn G противоречива,

т.е. (F1 Fn G ) 0.

Понятие логического следования используют для построе-

ния так называемых схем логически правильных рассуждений. Тра-

диционно эти схемы формулируют в терминах высказываний. Пере-

числим здесь некоторые известные схемы логически правильных

рассуждений.

1. Правило заключения.

«Если из высказывания p следует высказывание q и выска-

зывание p истинно, то истинно высказывание q». Правило

заключения можно записать следующим образом:

((p q) p) q,

причем эта формула является общезначимой, что подтвер-

ждается таблицей 3.12.

Табл. 3.12

Наряду с записью ((p q) p) q для правила заключения ис-

пользуют следующее обозначение:

22

p q, p

.

q

Формулы, расположенные над чертой называют посылками, форму-

лу, расположенную ниже черты, называют заключением, символ конъюнкции заменяют запятой.

2.Правило отрицания.

«Если из p следует q и q ложно, то будет ложным и вы-

сказывание p »:

p q, q

или ((p q) q) p.

p

Прежде чем привести следующее правило, рассмотрим формулу

(p q), которая называется неравнозначностью высказываний p,q. Таблица истинности неравнозначности (табл. 3.13) позволяет определить неравнозначность как высказывание, истинное тогда и

только тогда, когда значения истинности p , q не совпадают. Не-

равнозначность еще называют исключающим «или», в отличие от дизъюнкции, когда слово «или» употребляется в неисключающем смысле. Нетрудно заметить, что неравнозначность совпадает с опе-

23

рацией сложения по модулю два (сравните табл. 3.13 и табл. 2.10),

поэтому для неравнозначности наряду с обозначением (p q) ис-

пользуют обозначение p q .

3. Правила утверждения – отрицания.

«Если справедливо или p или q (в разделительном смыс-

ле) и истинно одно из высказываний, то второе высказыва-

ние ложно».

p q, p

или ((p q) p) q,

q

p q, q

или ((p q) q) p.

p

4.Правила отрицания – утверждения.

4.1.«Если истинно или p , или q (в разделительном

смысле) и ложно одно из них, то истинно другое».

p q, p

или ((p q) p) q,

q

p q, q

или ((p q) q) p.

p

4.2. «Если истинно p или q и ложно одно из этих высказываний, то истинно другое».

p q, p

или ((p q) p) q ,

q

24

p

7. Правило контрапозиции.

«Если из p следует q, то из того, что q ложно, следует, что

p ложно».

p q

или (p q) (q p).

q p

Пример 3.17. Рассмотрим простейшее рассуждение: «Сегодня чет-

верг или пятница. Сегодня пятница. Следовательно, сегодня не чет-

верг».

Схема рассуждений имеет вид, совпадающий с правилом ут-

p q, q

p

логически правильным.

25

Пример 3.18. Выяснить, является ли логически правильным рассу-

ждение: «Если натуральное число делится без остатка на 3 или 5, и

не делится без остатка на 5, то оно делится без остатка на 3».

Пусть p – высказывание «Натуральное число делится без остатка на 3», q – «Натуральное число делится без остатка на 5».

Схема рассуждений имеет вид «((p q) q) p» и совпадает с одной их схем отрицания–утверждения. Рассуждение логически правильное.

Пример 3.19. Проверить, является ли рассуждение логически пра-

вильным: «Если числовой ряд an сходится, то предел общего

n 1

члена ряда равен нулю, следовательно, если предел общего члена

ряда отличен от нуля, то числовой ряд an расходится».

n 1

Пусть p есть высказывание «Числовой ряд an сходится»,

n 1

высказывание q – «Предел общего члена ряда равен нулю». Схема рассуждений имеет вид (p q) (q p) и совпадает с правилом контрапозиции. Поэтому рассуждение логически правильное.

Пример 3.20. Выяснить, является ли логически правильным рассу-

ждение: «Идет снег или идет дождь. Идет снег, следовательно, не идет дождь».

схемы нет среди перечисленных. Однако мы перечислили далеко не все схемы, поэтому необходимо построить таблицу истинности 3.14

и проверить тавтологичность импликации. В последней строке таб-

лицы 3.14 значение истинности импликации равно 0. Значит, данная импликация не является тавтологией, поэтому рассуждение логиче-

ски неверно.

Табл. 3.14

3.2. Булевы функции.

Мы уже знаем, что с каждой формулой F(p1, , pn) логики высказываний связано отображение, которое ставит в соответствие любой фиксированной интерпретации одно из двух числовых значе-

ний — 0 или 1.

На следующем этапе можно абстрагироваться от высказыва-

ний и считать, что вместо высказываний имеются некоторые пере-

27

менные x1, , xn , каждая из которых может принимать только од-

но из двух числовых значений 0 или 1, а вместо логической форму-

лы ввести функцию f от этих n переменных, значения которой тоже принадлежат множеству {0,1}. Тогда мы придем к понятию булевой функции.

Определение 3.12. Пусть B {0,1}, а Bn есть прямое произведе-

ние множеств Bn B B B (n раз). Булевой функцией n пере-

менных (или логической функцией n переменных) называется ото-

бражение f :Bn B .

Множество всех булевых функций от n переменных обо-

значим символом P2(n).

Любая булева функция f (x1,...,xn) полностью задается с

помощью своей таблицы истинности (табл. 3.15.). В последнем столбце этой таблицы любое значение функции f равно либо 0,

либо 1.

28

Пример 3.21. Рассмотрим устройство для кнопочного голосования,

которое фиксирует принятие некоторой резолюции группой из трех человек. Если при голосовании большинство из трех человек со-

гласны с проектом резолюции, то резолюция принимается. Приня-

тие или отклонение резолюции фиксируется устройством. Такое устройство реализует некоторую булеву функцию (x1,x2 ,x3 ) , за-

данную таблицей 3.16.

Табл. 3.16

Нетрудно вычислить мощность множества булевых функций от n переменных. Всего имеется 2n упорядоченных наборов из ну-

лей и единиц (поскольку Bn 2n ), и, следовательно, существует

двух булевых переменных – унарные и бинарные функции, так как

29

они естественным образом интерпретируются известными логиче-

скими связками.

Все унарные булевы функции i перечислены в табл. 3.17.