discr_math

1

Раздел 3

Элементы математической логики

Согласно общим представлениям логика есть область науч-

ных знаний, в которой исследуются различные способы суждений и умозаключений и анализируются наиболее общие законы и формы мышления. Математическая логика является частью так называемой формальной логики и изучает методы логических рассуждений с помощью математического аппарата и специального символьного исчисления. Хорошо известно, что математика рассматривает коли-

чественные отношения и формы, абстрагируясь от свойств конкрет-

ных материальных объектов. Точно так же и математическая логика анализирует, прежде всего, форму доводов (утверждений, понятий)

в том или ином рассуждении, отвлекаясь от конкретного содержания этих доводов. Результаты этих исследований находят свое примене-

ние не только в «чистой» математике, но и в кибернетике, вычисли-

тельной технике, теории управления, различных технических нау-

ках, лингвистике, биологии, экономике.

Первые общие схемы (правила) рассуждений были изложе-

ны еще в древности греческим философом Аристотелем (384-322 г.

2

до н.э.). Независимо от Аристотеля некоторыми схемами умозаклю-

чений занимались древнегреческие философы-стоики. Значительно позже определенный прогресс в логике наступил благодаря трудам философа и математика Г.В. Лейбница (1646-1716), который впер-

вые высказал идею о введении в логику математических идей и сим-

волики. Однако эта идея Лейбница не была реализована при его жизни. И только со второй половины XIX и в XX веке, благодаря работам Дж. Буля (1815-1864), Г. Фреге (1848-1925) и других уче-

ных, в логике начался период интенсивного развития, приведший к тому, что были созданы первые системы математической логики.

Большой вклад в развитие логики внесли и русские ученые П.С.

Порецкий (1846-1907), И.И. Жегалкин (1869-1947). В XX веке ог-

ромную роль в развитии математической логики сыграл Д. Гильберт

(1862-1943), предложивший программу формализации математики,

связанную с разработкой оснований самой математики. Наконец, в

последние десятилетия XX века бурное развитие математической логики было обусловлено развитием теории алгоритмов и алгорит-

мических языков, теории автоматов, теории графов (С.К. Клини, А.

Черч, А.А Марков, П.С. Новиков и многие другие).

Знакомство с основными понятиями математической логики мы начнем с элементарной математической логики – логики высказыва-

ний.

3

3.1. Высказывания и логические связки. Формулы логики высказываний

В повседневной речи мы выражаем ту или иную мысль с по-

мощью различных предложений. Если абстрагироваться от содержа-

тельного смысла таких предложений, а рассматривать каждое пред-

ложение только с позиции истинности или ложности данного пред-

ложения, то мы придем к понятию высказывания.

Основные определения

В математической логике высказыванием называется пове-

ствовательное предложение (утверждение, суждение), которое мо-

жет быть либо только истинным, либо только ложным. Высказыва-

ния будем обозначать буквами латинского алфавита p , q , r и т.д.,

которые назовем логическими переменными (или пропозициональ-

ными переменными).

Пусть A есть множество высказываний, а множество B со-

стоит из двух символов — 0 и 1 (B {0,1}). Установим отображе-

ние f : A B так, что каждому истинному высказыванию соответ-

ствует 1, а каждому ложному — 0. Символы 1 и 0 назовем значе-

ниями истинности высказываний.

Из простых высказываний можно с помощью некоторых стандартных связок образовать новые (составные) высказывания.

Саму процедуру применения логических связок называют логиче-

4

скими операциями. Поскольку нас всегда будет интересовать не со-

держательный смысл высказывания, а только значение его истинно-

сти, для определения логических операций (связок) достаточно за-

дать значение истинности результата применения логической опе-

рации. Такое значение истинности задается таблицей истинности

логической операции.

Определение 3.1. Отрицанием высказывания p называется выска-

зывание, соответствующее словам: «не p », «неверно, что p ». От-

рицание обозначается символом p или ┐ p и задается таблицей истинности 3.1.

Отметим, что отрицание является унарной логической операцией.

Определение 3.2. Конъюнкцией двух высказываний p , q называ-

ют третье высказывание p q (читается « p и q », другое обозна-

чение конъюнкции p &q ), которое истинно тогда и только тогда,

когда истинно p и истинно q (табл. 3.2).

Конъюнкцию часто еще называют «логическим произведе-

нием» высказываний, поскольку таблица 3.2 по форме ничем не от-

личается от таблицы обычного произведения двух целых чисел — 0

и 1.

5

Определение 3.3. Дизъюнкцией двух высказываний p , q называет-

ся высказывание p q (читается « p или q »), которое ложно в том

и только в том случае, когда ложно p и ложно q (табл. 3.3).

В математической логике дизъюнкцию понимают как союз

«или», употребленный в неисключающем смысле слова1. Дизъюнк-

цию высказываний p , q иногда называют «логической суммой»

высказываний. Последняя строка таблицы 3.3 отличает логическую сумму как от традиционной суммы целых чисел, так и от сложения по модулю 2 (напомним, что 1+1=0(mod 2)).

(табл. 3.4). Высказывание p называют посылкой, а высказывание q

– заключением импликации.

Определение 3.5. Эквиваленцией высказываний p , q называется высказывание p q (« p равносильно q »), которое истинно тогда

1 Существует логическая операция, которая соответствует союзу «или» в разделительном смысле. Позже мы познакомимся с этой операцией.

6

и только тогда, когда значения истинности высказываний p и q

совпадают (табл. 3.5).

Табл. 3.5

Теперь обсудим подробнее смысл и практику применения различных логических связок.

Обычно введение с помощью перечисленных таблиц истин-

ности операций отрицания, конъюнкции и дизъюнкции не вызывает необходимости каких-то специальных пояснений или оговорок. Так,

например, дизъюнкцию двух высказываний «сегодня идет снег»

(высказывание p ) или «сегодня идет дождь» (высказывание q )

можно признать истинной и в том случае, когда на улице идет толь-

ко снег (третья строка табл. 3.3), и тогда, когда на улице идет только дождь (вторая строка таблицы), и в том случае, когда на улице идет снег с дождем (последняя строка таблицы). Если же сегодня на ули-

це нет дождя и нет снегопада, то указанную дизъюнкцию следует признать ложной (первая строка табл.3.3).

При обсуждении импликации сначала рассмотрим следую-

щий пример.

7

Пример 3.1. Пусть множество A есть подмножество некоторого

помощью таблицы 3.4 заключается в том, что импликация вводится

8

таким образом, чтобы два составных высказывания: «из p и q сле-

дует p » и «из p и q следует q » всегда, т.е. при любых значениях истинности высказываний p , q , принимали только значение «ис-

тина».

Пример 3.2. Рассмотрим еще одну импликацию: «если студент сдал все экзамены на «отлично», то он получит стипендию». Очевидно,

эту импликацию следует признать ложной лишь в том случае, когда студент сдал на «отлично» все экзамены, но стипендии не получил.

В остальных случаях, когда не все экзамены сданы на «отлично» и

стипендия получена (например, в силу того, что студент проживает в малообеспеченной семье) либо когда экзамены вообще не сданы и о стипендии не может быть и речи, импликацию можно признать истинной.

Вместе с тем необходимо отметить, что во множестве других случаев попытка отождествить импликацию с традиционным поня-

тием логического следования может приводить к самым удивитель-

ным результатам. Так, например, в соответствии с таблицей 3.4 сле-

дует признать истинной следующую импликацию: «если 2 2 5,

то Москва является столицей России». С точки зрения обыденной логики такая ситуация целиком абсурдна, но это мнение возникает в силу того, что человеческий разум пытается, в первую очередь, при-

дать импликации смысл причинной логической связи, т.е. подразу-

мевается, что заключение может быть выведено из посылки на осно-

вании каких-то логических рассуждений. Однако абсолютная чуже-

9

родность посылки и заключения оставляет лишь одну возможность

– руководствоваться формальным определением импликации.

Замечание. Можно сказать, что формальное определение импликации гораздо ближе искусственному интеллекту, чем традиционному мышлению человека, поскольку импликация может быть реализована в операторах условного перехода в программировании, а также в некоторых компьютерных микросхемах. Тем удивительнее тот факт, что еще в глубокой древности Аристотель уже знал, что импликация истинна в трех из четырех случаев, а философы стоической школы (IV-III вв. до н.э.) подразумевали современную таблицу истинности для импликации. Стоики древней Греции были убеждены, что Земля абсолютно неподвижна, и приведенные ниже дословные суждения стоиков следует рассматривать именно с этой точки зрения2:

1.Если день, то свет (истинно).

2.Если Земля летает, то она имеет крылья (истинно).

3.Если Земля существует, то она летает (ложно).

4.Если Земля летает, то она существует (истинно).

Формулы логики высказываний. Общезначимые,

выполнимые и противоречивые формулы

Переменные, обозначающие высказывания, логические связ-

ки ┐, , , , , символы скобок ) и ( составляют алфавит

логики высказываний. С помощью этого алфавита мы можем конст-

руировать различные логические формулы.

2 Маковельский А.О. История логики.- М.,1967.