discr_math

31

{(a,1 0);(b,1 0);(c,0 1);(d,1 1);(e,0 0)}

{(a,1);(b,1);(c,1);(d,1);(e,0)}.

Вид результата вычислений позволяет утверждать, что объединение

A B содержит элементы a,b,c,d , и только эти элементы. С уче-

том следующего равенства:

A B (x) A(x) B (x)

{(a,1 0);(b,1 0);(c,0 1);(d,1 1);(e,0 0)}

{(a,0);(b,0);(c,0);(d,1);(e,0)}

мы можем сделать вывод о том, что пересечение A B содержит

только один элемент d . Нетрудно заметить, что вычисление значе-

ний характеристической функции позволяет подтверждать различ-

ные равенства или вложения в теории множеств.

Функциональное отображение f : R R обычно кратко назы-

вают функцией, и это классическое понятие числовой функции од-

ной вещественной переменной, с которым Вы неоднократно встре-

чались в курсе математического анализа.

Очень часто вместо слов «однозначное (функциональное) ото-

бражение» употребляют для краткости только одно слово «отобра-

жение». В дальнейшем мы также будем всюду использовать тер-

32

мин «отображение», предполагая каждый раз, что речь идет о функциональном (однозначном) отображении.

Свойства отображений

2)f A1 A2 f A1 f A2 ;

3)f A1 A2 f A1 f A2 ;

5)f 1 B1 B2 f 1 B1 f 1 B2 ;

6)f 1 B1 B2 f 1 B1 f 1 B2 .

Посмотрим, как доказываются, например, второе и шестое из пере-

численных свойств.

Доказательство свойства 2.

f 1 y A1 f 1 y A2 ,

Тогда A1 A2 и f A1 A2 f 0,1 f A1 f A2 .

f A1 A2 f 1 f A1 f A2 .

34

Сюръективные, инъективные и биективные отображения

f x1 f x2 , т.е. различные элементы множества X должны иметь

различные образы.

Из определения следует, что условие инъективности можно сформулировать и по-другому: отображение инъективно, если тре-

тивно. Биективное отображение часто еще называют взаимно-одно-

значным отображением.

35

Пример 1.23. Рассмотрим четыре отображения f , g, , , представ-

ленные на рис. 1.15.

f g

Отображение f не является ни сюръективным (так как элементы

инъективное отображение, которое не является сюръекцией. Ото-

бражение – биективно или взаимно-однозначно.

36

Пример 1.24. Отображения

существенно отличаются друг от друга. Первое из них не является ни сюръективным, ни инъективным, второе – сюръективно, но не инъективно, третье – биективно.

Композиция отображений

Определение 1.30. Пусть заданы два отображения f : X Y и

g :Y Z . Композицией отображений (сложным отображением,

Из двух указанных равенств первое задает обозначение композиции

( g f ), а второе определяет композицию в произвольной точке множества X .

Замечание. Запись g f производится в порядке, обратном тому, в

f g

котором проводят сами операции X Y Z . В математике принято правило, согласно которому в композиции отображений

37

g f необходимо начинать действия с отображения f , располо-

женного справа.

Действие композиции двух отображений можно наглядно пред-

ставить в виде диаграммы на рис. 1.16.

Пример 1.25. Пусть X 0; 2 ,Y 0,2 , Z 0,6 и заданы два ото-

бражения f x sin x : X Y ; g y y2 : Y Z . Их композиция

g f x g f x sin2 x

является отображением из X в Z .

g f

Z

X

Рис. 1.16

Теорема 1.2. Композиция отображений ассоциативна, т.е. для за-

данных трех отображений f : X Y , g :Y Z , h: Z V спра-

ведливо равенство h g f h g f .

► h g f x h g f x h g f x h g f x . ◄

38

Единичное отображение. Обратное отображение

Определение 1.31. Единичным (или тождественным) отображени-

ем называется отображение eX : X X , которое переводит каждый элемент x X в себя:

eX x x, x X .

Очевидно, для любого отображения f : X Y выполняются равен-

ства

f eX f и eY f f ,

т.е. единичные отображения играют роль нейтральных элементов в композиции отображений.

9 Когда справедливо только одно из двух условий, например, g f eX ,

то g называют левым обратным отображением (соответственно, если вы-

полнено только второе равенство f g eY , то g называют правым обратным отображением).

39

лом x lny , является обратным к отображению f (x), поскольку выполнены оба требования (1.1):

g f (x) lnex x eX ,

f g (y) eln y y eY .

Пример 1.27. Отображение y f (x): R R , заданное равенст-

вом y f (x) x2 , имеет обратное: x y : R R . Однако ото-

бражение f :N N , заданное соотношением n n2 , имеет только

левое обратное отображение, а правого обратного не имеет. Дей-

ствительно, предположим, что обратное отображение имеет вид

g(n) n . Тогда, если m n2 и n m , то g f n2 n eN .

Но при этом композиция f g (m)2 не определена на N , по-

скольку число m не обязательно натурально (например, число 3

иррационально).

Следующая теорема задает условие, при котором существует об-

ратное отображение.

Теорема 1.3. Отображение f : X Y имеет обратное тогда и только тогда, когда f является взаимно-однозначным (биектив-

ным) отображением.

Прежде чем привести доказательство теоремы, рассмотрим вспо-

могательное утверждение – лемму.

40

Лемма 1.1. Если для композиции двух отображений выполняется равенство g f eX , то g является сюръекцией, а f – инъекцией.

Доказательство леммы.

► Сначала докажем, что отображение g :Y X сюръективно. Для этого, в соответствии с определением сюръективного отображения,

x1 eX x1 g f x1 g f x1 g f x2 g f x2 eX x2 x2 .

В результате мы получили, что из условия f x1 f x2 следует,

равенство x1 x2 , поэтому f инъективно.◄

Доказательство теоремы 1.3.

► Предположим сначала, что отображение f : X Y имеет обрат-

ное f 1 :Y X . Тогда из равенства f 1 f eX , согласно лемме,