киб_3_семестр_матан_лекции

Лекция 16. Экстремальное свойство коэффициентов

тригонометрического ряда Фурье.

Введем в рассмотрение тригонометрический многочлен степени не выше n

Вопрос: является ли частичная сумма р.Фурье(2) наилучшим приближением функции f(x) в среднем среди всех тригонометрических многочленов вида (4)? Ответ на этот вопрос даёт следующая теорема.

Теорема 4(об экстремальном свойстве коэф. тригонометр. ряда Фурье):

Среди всех многочленов тригонометрических многочленов порядка n величина )&, задаваемая (1), принимает наименьшее значение в случае, когда тригонометрический многочлен -&(/) равен Sn (x) ,

Т.е. надо показать, что минимальная σ n достигается, когда Tn (x) = S (x) , или другими словами α n = an (n = 0,1...)

β n = bn (n = 1,2...) .

Наилучшее приближение дает частичная сумма, но только для среднего приближения.

Нетрудно видеть, что второе слагаемое обратится в ноль(использованы ортогональность системы тригонометрических функций и следующие значения интегралов)

- ограничена, следовательно ряд сходится и в формуле (9) мы можем перейти к пределу. При этом знаки неравенств сохраняются. В результате получаем неравенство Бесселя.

т.е. неравенство Бесселя (10) переходит в равенство Парсеваля.

Лекция 17 Различные виды сходимости тригонометрического ряда Фурье:

поточечная, равномерная, сходимость в среднем. Равенство Парсеваля для коэффициентов Фурье тригонометрического ряда на [ ; ] и на [-l; l]

Замечание 1: Первые два вида сходимости хорошо известны, если

рассматривать ряд Фурье, как функциональный ряд функций.

По определению:

Тригонометрический→ ряд (1) сходится равномерно на [-π ; π] к f(x), обозначается Sn(x)→ f(x) при n-> ∞ , если

ε-0 N ε -0 : n-N и всех x [-π ; π] выполнено: |Sn x -f x | < ε

Т.е. близость Sn к самой функции задается модулем их разности.

f(x) называется удовлетворяющей условиям Дирихле, если функция является кусочно-дифференцируемой функцией.

Замечание3: Функция называется кусочно-дифференцируемой, если её можно разделить на отрезки, которые дифференцируемы(т.е. гладкая касательная имеется), а на концах есть односторонние производные.

Поточечная сходимость:

Тригонометрический∞ ряд (4) сходится поточечно на [-l; l] ; обозн. Sn=SnL(x)->

f(x) при n->

ε-0 N ε,x -0 : n-N ε,x и каждого x [-l ; l], выполнено:

|SnL x -f x | < ε *

Замечание 5: Если х-точка разрыва 1го рода или равна концам отрезка, то неравенство * будет выглядеть так: |SnL x -S x | < ε

Замечание 6: Рассматриваемая равномерная и поточечная сходимости, это фактически уже рассмотренные сходимости для функциональных рядов, т.е. рассматриваем ряд Фурье, как функциональный ряд.

3 сходимость тригонометрического ряда Фурье в среднем на [-l ; l] Замечание 7: это новый вид сходимости, при котором близость частичных сумм Sn x тригонометрического ряда Фурье задается не с помощью модуля разности, а с помощью интеграла Риммана от квадрата разности.

Определение 14:

Чтобы:

Тригонометрический ряд Фурье 4 сходился в среднем на [-l ; l]

Система (8) представляет собой базис в бесконечномерномπ π пространстве кусочно-непрерывных функций на отрезке [- ; ]. При этом надо рассматривать функции с интегрируемым квадратом.

Тригонометрический ряд (9) является разложением функции f(x) по этому базису, an bn – проекции f(x) на этот базис, т.е. координаты.

Геометрический смысл:

Равенство Парсеваля является аналогом теоремы Пифагора в бесконечномерном пространстве функций.

Также равенства Парсеваля интерпретируют так:

Слева стоит квадрат длины.

Справа – суммы квадратов проекций этой функции на ортогональный базис, т.е. сумма квадратов координат функции в этом базисе.

Для четных функций(и четного продолжения функций) равенство

Для нечетных функций(и нечетного продолжения функций) равенство

Замечание 8: с помощью равенства Парсеваля вычисляются суммы очень

многих числовых рядов.