киб_3_семестр_матан_лекции

Доказательство(аналитическое):

Замечание 7

Для рядов с разным распределением знаков рассматриваем область абсолютной сходимости Šp |„ …)|‰….

Пример 6: рассмотрим ряд

Данный ряд будем называть эталонным, т.е. с ним будем сравнивать другие

ряды.

Лекция 4

Знакочередующиеся числовые ряды. Признак Лейбница.

Определение 6(знакопеременного ряда)

Знакопеременный ряд - это числовой ряд, среди членов которого содержатся члены как положительные, так и отрицательные, т.е. знакопеременный ряд, это ряд, который обладает следующими свойствами:

хотя бы одно n ϵ N: произведение этого члена ряда на последующий меньше нуля, т.е.

∙ < 0 (*)

Пример1(знакопеременного ряда)

+ 1 + 3 – 2 – 5 -12 +7 + 8 …

Определение 7(знакочередующегося ряда)

Знакочередующийся ряд – это частный случай знакопеременного ряда и

Теорема11( Достаточный признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда)

Если выполняются следующие два условия:

1) Последовательность абсолютных значений членов знакочередующегося

ряда монотонно убывающая(меньше нуля быть не может)( )

> : > > > 0

2) Предел абсолютной величины общего члена этой последовательности и

равен 0. lim = 0

→

То:

1.Ряд (1) сходится.

2. При этом сумма знакочередующегося ряда S по модулю не превышает модуля своего 1-го члена. |A| < B (3)

3.А остаток ряда по абсолютной величине не превосходит абсолютной

Рассмотрим последовательность частичных сумм этого нечетного индекса:

MA:DE | N . /O = A , AF, … , A:DE , …

MA > AF > > A:DE > > 0O − монотонно убывает( ) и ограничена снизу 0

По лемме (о монотонно убывающей ограниченной последовательности)

lim A:DE = A < ; |A| <

→

Итак, доказали, что при выполнении условий 1) и 2) признака Лейбница lim → A:DE = lim → A:D = A и |S|<U1.

Замечание 2

Это справедливо как для ряда (1), так и для ряда (2).

Теорема12 (достаточный признак абсолютной сходимости знакопеременного ряда или признак абсолютной сходимости знакопеременного ряда)

Если знакоположительный ряд, составленный из модулей членов знакопеременного ряда, сходится, то знакопеременный также сходится. При этом обратное неверно, т.е. из сходимости знакопеременного ряда в общем случае не следует сходимость знакоположительного ряда.

Доказательство:

Пусть ряд, составленный из модулей членов знакопеременного ряда,

ряд сходится. ЧТД

Определение 8 (абсолютно сходящегося ряда)

Если ряд абсолютных значений знакопеременного ряда сходится, то соотвествующий знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся рядом.

Определение 9 (условно или неабсолютно сходящегося ряда)

Если знакопеременный ряд сходится, а знакоположительный расходится, то такой знакопеременный ряд называется условно сходящимся или неабсолютно сходящимся.

Замечание 3

Из абсолютной сходимости ряда следует условная. А обратное в общем случае неверно. Естественно, что т.12 имеет место и для знакочередующихся рядов(они – частный случай знакопеременных).

Лекция 5 Дополнение к теме абсолютно сходящихся

и неабсолютно сходящихся числовых рядов

Теорема13(свойства абсолютно сходящихся числовых рядов)

Если ∞ сходится абсолютно к сумме

∞ = , то имеют место следующие св − ва:

1) Сочетательное свойство:

∞ = + + + + + + + =

2) Переместительное свойство:

Мы можем менять члены ряда местами, но сумма ряда не изменится.

3) Произведение

Если

Примечание

Сумма индексов должна быть равна n+1

Замечание 1

На самом деле cn можно составлять как угодно, лишь бы вошли все члены перемножаемых рядов.

Сумма индексов в каждой скобке равняется n+1

Замечание 2

Для неабсолютно сходящихся рядов первое свойство имеет место, а второе и третье, вообще говоря, нет. При перестановке членов и перемножении рядов сходящихся неабсолютно, мы можем получить даже расходящийся ряд. Покажем это на примере.

Пример1:

= > ряд из cn расходится по необходимому признаку сходимости.

Замечание 3

Для абсолютно сходящихся рядов имеют место все признаки сходимости, рассмотренные для положительных рядов:

∞

Признаки сравнения.

Алгоритм исследования знакочередующихся рядов

=0, то переходим к пункту 2 ∞

2)Проверка на абсолютную сходимость. Проверка достаточных признаков сходимости.→ то ряд расходится →

Исследование закончено.

∞ | | − расходится, то переходим к пункту 3

3) Исследование на условную сходимость(признак Лейбница для знакочередующихся рядов, если ряд знакопеременный, то признак АбеляДирихле и другие)

Лекция 6

Глава 2.

Функциональные Ряды

Определение 10 (функционального ряда)

Функциональным рядом называется бесконечный ряд, члены которого есть функции, имеющие общую область определения X, вида:

Зам.1

У функционального ряда есть точки, где он сходится и точки, где он расходится.

Определение 11(точек сходимости функционального ряда)

т.x0 – точка сходимости функц. ряда (1)

∞ % − соотвестсующий числовой ряд сходится