киб_3_семестр_матан_лекции

Определение 12(области сходимости функционального ряда)

Е-область сх-ти функц. ряда (1)

E={x0} –совокупность точек сходимости этого ряда, &

D1-область абсолютной сходимости функц. ряда (1)

D1={x1} – совокупность точек абсолютной сходимости этого ряда, Еϵ Х Связь: D1 E X

Е для примера1: E: |x|<1

Определение 13(сходимости функционального ряда в области Е)

Запись: (x)OPPPQS(x)

M→N

Замечание 2: к опр. 13 и 14.

Вопределении 13 номер последовательности N( ,x) зависит и от ε и x и этот номер для каждого хϵ Е свой.

Вопределении 14 номер последовательности N( ) существует для всех хϵD

сразу и зависит только ε. Если общегоH HN нет&– это обычная сходимость. Если есть – равномерная сходимость.

Определение15(Мажоранты)

Теорема14(достаточный признак равномерной и абсолютной сходимости функционального ряда (признак Вейерштрасса))

Если для

2) равномерная сходимость

Берем для ε>0 (сколь угодно малое эпсилон)

|C | = _ ∞ ` _ = | ` + + ` + |

≤ | `| + + |` | + ≤ ≤ S` + + S` + = C < 2, 7 > 5 2,

т.к. мажоранта является сходящимся числовым рядом.

Отсюда вытекает по определению 14, что данный ряд сходится равномерно.

Способы нахождения Мажоранты:

1-ый способ

Оценить по модулю un(x) , чтобы в оценке сверху получился числовой сходящийся ряд, не зависящий от x. Для этого надо увеличить числитель и уменьшить знаменатель(если это возможно), используя заданный отрезок.

Полученный числовой ряд проверить на сходимость.

2-ой способ

Найти max un(x) на заданном интервале через производную:

Ищется точка Х0 экстремума, проверяется - -является ли найденная точка Х0

Лекция 7.

Примеры равномерно сходящихся рядов. Свойства равномерно сходящихся рядов.

Пример 1:

Доказать равномерную сходимость ряда на [0;+∞)

Подстановка нуля не дает нам возможность сделать оценку, т.к. числитель будет равен нулю.

Нужно придумать большую дробь, т.к. х - не отрицателен, то мы можем его отбросить в знаменателе, уменьшив его, тем самым, увеличив дробь;

|sin ∏nx|≤1, для любого х ϵ[0;+∞).

данный ряд сх. равномерно и абсолютно по теор. Вейерштрасса на

0, ∞

Пример 2: доказать, что ряд сх. равномерно на (-∞; +∞)

Проверяем по первой производной или можно взять вторую производную и

подставить туда 1 .

n

Если 1 < 0, то = 1 − т.

- сходится как геом. прогрессия со

Следовательно, исходный яд сходится абсолютно и равномерно на (−∞, ∞ по теореме Вейерштрасса

Свойства равномерно сходящегося ряда.

Задаются серией теорем.

Теорема 15: (о непрерывности суммы бесконечного равномерно сходящегося ряда непрерывных функций)

Сумма равномерно сходящегося беск. ряда непрерывных ф-ий, является функцией непрерывной.

Дано:

1)∑Un (x) = S(x) - равн. cх. на D

2)все члены ряда непрерывны на D, тогда S(x) – непрерывная функция на D.

Оценка (2) по определению непрерывности функции в точке на языке «ε − δ» позволяет сделать вывод о непрерывности S(x в т. x D и во всей области D.

Замечание 1 Если сумма беск. ряда непрерывных функций – разрывна, то ряд сходится к

ней неравномерно.

Доказательство методом от противного.

Предположим, что ряд сходится равномерно, тогда по т.(15) должна быть S(x)- непрерывная функция получили противоречие.

Теорема 16: (об интегрировании равн. сх. ряда непрерывных ф-ий) Равномерно сходящийся ряд непрерывных ф-ий на [a,b] можно почленно интегрировать на этом отрезке, т.е.

Если выполняются условия:

Доказать самостоятельно.

Теорема 17: (о дифференцировании равномерно сх. ряда)

Тогда исходный ряд можно почленно дифференцировать и полученный ряд из производных будет сходиться к производной суммы исходного ряда, т.е.

∞

∑U ′ (x) = S ′(x) , δ (x) = S′(x)

n

n=1

Доказать самостоятельно с помощью учебников. Замечание 2

В теоремах 15, 16, 17 рассматриваются ряды только от функций действительного переменного. На самом деле они справедливы для функциональных рядов от функций комплексного переменного, но пока не введены для них понятия непрерывности, производной и интеграла.

Лекция 8.

Глава 3.

Степенные рды. Терема Абеля

Важными представителями функциональных рядов являются степенные ряды.

Все теоремы применимы к степенным рядам.

Определение 16 (действительного степенного ряда)

Действительным степенным рядом называется функциональный ряд вида:

n=0

an- коэффициенты ряда Х0- центр ряда

Х- действительное переменное

Пример1:

Определение 17 (комплексного степенного ряда)

Комплексным степенным рядом называется функциональный ряд следующего вида:

n=0

an –коэффициенты ряда (комплексные числа или действительные), z- комплексное переменное

Пример 2:

при q = x < 1

x1

сх. при х : |x|<X1 , по признаку сравнения сх. ряд(5) абс. сх. ряда(3)

2)Докажем равномерную сх. р.(3) Равн.сх.(3) на [x ≤ r < x1 ], 0<r<|x1| Для этого построим мажоранту для ряда

Сходящийся, т.к. r<|x1|, оценивает |anxn|≤|an|rn

∞

(по признаку Вейершттрасса) равномерная сходимость ∑ an xn на

n = 0

Следствие 1: если ряд(3) расх. в некоторой точке х2 ¹ 0, то он расх. вне интервала.

(− x2 , x2 ); (или x > x2 )

Док-во: (от противного)

Предположим, что в точке х3>x2 ряд сх., то по т.Абеля он будет сх., где (− x3 , x3 ), т.е. обязан будет сходиться в точке х2 , противоречие; (в т. х2 он расх.)

Сформулировать т.Абеля для р.(4) самостоятельно.

Теорема 19: (для ряда (2) комплекс.) Если ряд(2) сх. в точке z1 ¹ z0, то он :

1)абс. сх. внутри круга z − z0 < z1 − z0

2)равномерно на круге z − z0 ≤ r < z1 − z0

Определение 18 (радиуса сходимости)

Число 0<R<∞ :

Если х левее R ряд сх., а правее R- расх., то такое R называется радиусом сходимости степенного ряда.

Для ряда (3):

сх. при|x|<R , расх. при |x|>R & ' радиус сходимости ряда 3 Аналогично для комплексного ряда (4)

Для ряда (1): сх. при |x-x0|<R, расх. при |x-x0|>R.

& ' радиус сходимости ряда 4