киб_3_семестр_матан_лекции

Дейчтвительный числовой ряд

, где t 0

(7)

называют положительным рядом.

Для того, чтобы ряд (6) сходился необходимо и достаточно, чтобы

последовательность его частичных сумм {Sn} была ограничена сверху.

^ − сходится i н.и д.

Sn

yограничена сверхуz

]

h

[ wx

т. е. lim . = .

\

→

g

Так как {Sn} возрастает и ограничена сверху, то по теореме из 1-го семестра

существует lim→ . = .

=> ряд сходится.

Теорема 6 (признак сравнения допредельный)

Пусть даны

1) Два числовых ряда:

, n > 0

, > 0 ;

n

2) ≤ n (не превосходит)

(может выполняться с N>n)

(8)

Пример 1:

1

1

1

,

B5C ; n = 5C > = B5C

1

< 1

где n − геометрическая прогрессия , L = 5

Пример 2:

1

1

1

1

,

>

=>

− расходится,

€

€

B

€

√B

√B

√B

1)Пусть даны два ряда

,

; , n > 0

n

2) lim

и равен q ; q > 0. Где n − эталонный ряд

→ n

Пример 3 1

1

= jB(B + 1) n = B

lim

B

= 1 > 0 расходятся оба

→

√B + 1

B → ∞

(Общие члены – эквивалентные б.м. при

)

1

,

1

~

1

;

1

− расх. => расх и данный ряд

√B( + 5B

√B( + 5B B → ∞ B

B

Пример5:

;

sin …⁄

~

…

sin …⁄

B

B

B → ∞

B

lim sin …⁄B = … > 0

=>

даннный ряд расходится

→

1N

B

Теорема 8(Признак Коши радикальный)

сх,при L < 1

‡ конечный lim

ˆjM

то

Œ

= L‰ Š M Q расх, при L > 1

Пример:

→

‹

н. н. с. , при L = 1

1

1

‹

5

L = 5 < 1 сходится

Теорема 9(Признак Даламбера)

сх,при L < 1

&

то

• конечный lim

= LŽ

Š M Q расх,при L > 1

Œ

→

‹

н. н. с. , при L = 1

Дано:

1)

> 0 ;

1)

> 0 ;

возможно выполнение > )

2)

2) ≤

3)

Докажем 1.

→lim 2 3 = 2

Из сходимости большего ряда =>

Из неравенства 3) =>

что 2 5 ≤ 2 3 ≤ 2 => 62 57 − ограничена;

т.;

ряд 1) сх.

62 57 )возрастает <

^ L G L _ L 1

6)

H

H

L _ → L _ , _

G

т.a

L 1

< ряд 1) сходится как геометрическая прогрессия с знаменателем

геометрической прогрессии, _ L 1.

^, _ > 1

7)

2) I > 1 ;

^ L G L _

H

^ L

=>

т.a

8)

ряд 1) расх т. к. ^ − геом. прогр. ^ > 1)

<

расх ряд

3) q=1;

lim

HGd = 1 lim d = f1 g − неопределенность.

→

→

Пример1:

h

) − ряд сх. по признаку Коши радикальному,

2 + 1

т. к. ;

lim

H

)

= lim

=

1

L 1

j

2 + 1

2

Пример2:

→

→ 2 + 1

k2 + 1l m ;

lim

Hn

= lim k2 + 1l = f1 g =

k2 + 1l m

2 + 3

→

2 + 3

→

2 + 3

= lim 1 −

2

) = lim 1 +

−2 ) Zo

o pq = rZ L 1 – ряд сх.

→

2 + 3

→

2 + 3

o pq

Zo

умноженной на число =>

т.a

• _• V − этот ряд сх. как геом. прогр. _ L 1)умноженной на V <

ряд

1)сходится по признаку сравнения.

2. q>1

YHvw

, >

( )

|H

}

p

L _

14)

> }))

^, _ > 1

1 L ^ L

Из левой част неравенства (14)=>

Vp > V;

т. е. последующий больше предыдущего, следовательно,

ряд 1)расх. по необх признаку сх − ти (конечно же, можно и по

допредельному признаку сравнения).

3. q=1

имеет место неопределенность.

Замечание 3

И в том, и в другом случае(т.8 и 9) при q=1 ничего сказать нельзя в силу

неопределенности, возникающей при вычислении предела.

Для комплексных рядов и для числовых действительных рядов с разным

lim →

|YH|

= I

распределением знаков 2)

|YHvw|

. В этих случаях говорим об

Пример4:

5

;

lim

5 p !

= lim

5

= 0 L 1 − ряд сх .

!

→ + 1)! 5

→ + 1

Пример5:

+ 1)p !

1

;

lim

= lim k1 +

l

= r > 1 − ряд расх.

!

+ 1)!

→

→

Теорема10(признак Коши интегральный)

Пусть

1)

1)

; > 0 − бесконечный положительный ряд

2) на f1, +∞g „ …) > 0 − непрерывная положительная функция

3) „ ) =

Тогда:

p

15)

1. Из сх − ти несобственного инт − ла ˆ „ …)‰…

=> сх − ть ряда 1)

2. Из расх − ти несобственного инт − ла Šp „ …)‰…

(15)

=> расх − ть ряда 1)