Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

МИРЭА - Российский технологический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

киб_3_семестр_матан_лекции

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.05.2015

Размер:

4.03 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 115 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

∞

∑ an ( x − x0 ) R

n=0

Уметь формулировать и доказывать теорему Абеля для рядов 4х видов. - норвежской математик Абель Нильс Хенрик (1802-1829гг.)

R- число от 0 до + ∞ (радиус сходимости) Ряд Сх., x: x − x0 < R

Ряд Расх., x: x − x0 > R - радиус сходимости

Интервал сходимости : | x − x0 |< R

Для комплексного ряда R- самост.

Круг сходимости: | z − z0 |< R

Вопрос: Как находить R и круг сходимости? R можно находить двумя способами:

1) одновременное нахождение сразу и радиуса и интервала (или круга) сходимости : R; | z − z0 |< R, применяя к ряду, составленному из модулей признаки Коши радикальный или признак Даламбера.

∞	∞
2) ∑an (z − z0 )n ; ∑		an	z − z0 n	(*)
n=0	n=0

Введем формулы для радиуса сходимости.

К ряду (*) применим признак Коши радикальный

limn

z − z

limn

< 1

, получим

n → ∞

z − z0

= R

- круг сходимости

lim n

n → ∞

R =

- радиус сходимости

lim n

n → ∞

Но можно применить и признак Даламбера:

an+1

z − z0

n+1

lim

< 1

z − z

< lim

= R

− z0

n → ∞

n →

∞

an+1

R = lim

- радиус сходимости

an + 1

n → ∞

(**)

(***)

По формулам (**) или (***) вычисляем R, а вычислив R , находим круг сходимости или интервал.

Замечание 1

Целесообразнее применять 1-й способ, чем сначала по (**) или (***) вычислить К, а потом записывать интервал (или круг) сходимости.

Алгоритм исследования степенного ряда:

1)нахождение радиуса и интервала сходимости (или круга сх.)

2)исследование на границе интервала (или круга)

3)вывод(ответ), включающий в себя область сходимости, область абсолютной сходимости и область равномерной сходимости.

Пример 1 исследовать на сходимость ряд

∞	3	n	+ 1
∑ ln	3		+ 1			( x - 8) n
∑ ln						( x - 8) n
n=1		3n
∞					1
1) ∑ln(1 +					1			)(x - 8)n
1) ∑ln(1 +					n			)(x - 8)n
n=1			3
Составим ряд из абсолютных величин
∞				1
∑\| ln(1+				1			) \| ×\|x - 8 \|n
∑\| ln(1+							) \| ×\|x - 8 \|n
n=1				3n				, т.к аргумент у логарифма больше 1, то можно

убрать модуль.

Применим Коши радикальный:

		1			n

lim n ln 1	+		×	x - 8		=	x - 8	lim n ln 1

n → ∞		3n					n	→ ∞

Здесь использовали эквивалентность

ln 1 / 310 ~ 310

5 < x < 11 x − 8 < 3 - интервал сходимости

R=3 – радиус сходимости Xo=8 – центр ряда

2) исследуем поведение на границе: Х=5 подставим в исходный ряд

x - 8

lim n

< 1

→ ∞ 3n

при 0 → ∞

- интервал сх. и радиус сх.

∞	1
∑(-1)n ×3n × ln(1+	1	)	- расходится
∑(-1)n ×3n × ln(1+	n	)	- расходится
n=1	3

Проверим выполнение необходимого признака:

lim3n × ln(1+	1	) = 1 ¹ 0	5 не включаем

n → ∞	3n

Х=11

∞	1
∑3n ×ln(1+	1	) расх. 11 не включаем
∑3n ×ln(1+	n	) расх. 11 не включаем
n=1	3

3) Ответ : ряд сх. абс. в |x-8|<3, сх. равномерно |х-8| ≤ r < 3

Замечание 2

Если этот ряд превратить в комплексный

∞	1
∑ln(1 +	1	)(z - 8)n
∑ln(1 +	n	)(z - 8)n
n=1	3

1)|z-8|<3

2)|z-8|=3

Подставляем в ряд абс. величину:

	∞		1n )× \|z - 8 \|n = ∑ 3n ×ln(1 +			1n )
	∑ln(1+		1n )× \|z - 8 \|n = ∑ 3n ×ln(1 +			1n )
					∞
			3
	n=1		3		n=1	3
lim(3n ×ln(1+		1		)) =1 ¹ 0	( по необходимому признаку ряд расх.)
lim(3n ×ln(1+		n		)) =1 ¹ 0	( по необходимому признаку ряд расх.)
n → ∞	3

граница не включается в абс. область сх.

3)|z-8|<3 - круг абс.сх. ряда

|z-8| ≤ r < 3 – круг равномерной сх.

Пример 2

∑∞ 4'1 0 051 0220

1) lim0→∞ 08|4'10220|0 5 |4'1|2 lim0→∞ 09102 5 |4'1|2 1 |4 ' 1| 2- круг сх.;

R=2; Zo=1

2) Граница круга |z-1|=2 подставим в ряд из абсолютных величин

∑ :; 5 ∑

исходного ряда: <:; < - сх.

3) Ответ: |z-1|≤2 –область абс. и равномерной сх. Задание на дом:

Проверить lim→ ;√0: 5 1

Рис. к примеру 2

Лекция 9. Свойства степенных рядов.

Теорема19 (о непрерыв. суммы степенного ряда)

Сумма степен. ряда:

∞
∑ an (x − x0 )n = S (x)	(1)

n=0

непрерывна в интервале сх. этого ряда, т.е в |x-x0|<R, где R-радиус сходимости.

Док-во: следует из теор.Абеля(18) и теор. (15) для функционального ряда

(x − x0 )n - степенная функция, an (x - x0 )n - непрерыв. ф-я.

По теор.Абеля ряд(1) сх. равномерно на x − x0 ≤ r < R , следовательно,

по теор.(15)- S(x)-непрерывна в этой области; приближая к к R, получим, что S(x) нерерывна в интервале сходимости |X-Xo|<R.

Теорема20 (об интегрировании степенного ряда) x0 = 0 - для простаты формулировки.

Рассмотрим такой ряд:

∞
∑ an × x n = S ( x) , \|x\|<R	(2)

n=0

тогда этот ряд можно почленно интегрировать внутри интервала сходимости.

x	∞	x	∞	xn+1
∫ S(x)dx = ∑an ∫ xn dx = ∑an					; \|x\|<R.
∫ S(x)dx = ∑an ∫ xn dx = ∑an				n +1	; \|x\|<R.
0	n=0	0	n=0	n +1

Док-во:

Вытекает из теоремы Абеля и теоремы(16) (об интегрировании функционального ряда)

Теорема21(о почленном дифференцировании) x0 = 0 - для простоты, имеем ряд

∞

∑ an × x n = S ( x)

(3)

(2)

n=0

Степенной ряд можно почленно дифференцировать и при этом будет иметь место следующая формула:

∞	∞	∞
(∑an × xn )¢ = ∑an (xn )¢ = ∑n × an × xn−1 =S¢(x)			, \|x\|<R	(4)
n=0	n=0	n=1

Док-во: вытекает из т.Абеля и т.(17)( о диф-ии функциональных рядов)

Теорема 22(о бесконечной гладкости суммы степенного ряда)

В формуле (4) мы получили снова степенной ряд мы много раз можем дифференцировать этот ряд. Сумма степенного ряда является бесконечно гладкой функцией, т.е. степенной ряд можно диф-ть бесконечное число раз.

К ряду(4) применим т.(21)

∞
S (2) (x) = ∑ n × (n -1)an × xn−2	, \|x\|<R – явл. степенным рядом		(5)
n=2
……………………………………………………….
∞
S ( k ) (x) = ∑ n(n -1)...(n - k +1)an × xn−k		, \|x\|<R	(6)

n=k

………………………………………………………

Теорема 23(о сохранении радиуса сходимости при диф-ии и

интегрировании)

При интегрировании и дифференцировании степенного ряда Rсх. остается одним и тем же, т.е. сохраняется.

(без док-ва)

Замечание 3

Свойства степенных рядов, доказанные для действительных степенных рядов, сохраняются и для комплексных степенных рядов.

Лекция 10 Глава 4.

Ряд Тейлора.

Постановка задачи:

∞
Пусть некоторая функция f(x)= ∑ an ( x − x0 )n	(1)
n=0

Вопрос: Связаны ли коэффициенты an с функцией f(x)?

Теорема24: Теорема Тейлора(необходимое условие разложения функции

в степенной ряд):

∞					f ( n ) ( x )
∑ a n ( x −	x	0 )	n	a =	f ( n ) ( x )
∑ a n ( x −	x	0 )		a =		0
				n		0
Если f(x)= n = 0			тогда		n!		(2)

				n = 0,1...

В интервале сходимости |x-x0|<R

Док-во: n=0, в точке X0 совпадает с функцией

f (x) = a0 + a1 ( x - x0 ) + a2 ( x - x0 )2 ... + an ( x - x0 )n + L

(1’)
f (x0 ) = a0	=	f (0) (x0 )			, (0!=1)- это есть рав-во (2) при n=0
f (x0 ) = a0	=				, (0!=1)- это есть рав-во (2) при n=0
			0!
Дифференцируем (1’)
n=1 f ¢( x) = a1				+ 2a2 ( x - x0 ) + ... + n × an ( x - x0 ) n −1 + ...			(3)
			f	′
f '(x0 ) = a1 =			f	(x0 )
f '(x0 ) = a1 =				1!		- это равенство (2) при n=1
				1!

Продолжая далее диф-ть (3) n раз и подставляя X=Xo.

При n=n и при подстановке x=x0, мы получим (2). Теорема доказана.

Определение 18 (коэффициентов Тейлора)

Коэффициенты степенного ряда, полученные по формуле(2) –

( )

a = ( ) называются коэффициентами Тейлора.

n !

Определение 19 (ряда Тейлора)

Ряд , коэф. которого вычислены по формуле(2) , называется рядом Тейлора в окрестности точки x0:

∞	f	(n)	(x0 )
f (x) = ∑				(x − x0 )n
					или	(4)
n=0		n!

разложением	функции в ряд Тейлора по					степеням скобки (X-Xo).

Разложение функции в ряд Тейлора

(1685-1731г. Английский математик)

Теорема24(о необходимом условии разложения функции в ряд Тейлора)

∞	( )( )

( ) =		( − )	(3)
	!

Ряд Тейлора в окрестности т. x0 или разложение функции в ряд Тейлора по степеням скобки (x-x0 )

Замечание 1: Если х0=0, то мы получаем следующее разложение:

( ) = ∑∞	( )
	!( ) −

– разложение ряда Тейлора в окрестности нуля или ряд Маклорена (1698-1746 г. Шотландский математик, ученик Ньютона).

Из первого семестра известно: если функция бесконечно дифференцируемая, то к ней применима формула Тейлора: f(x)=Sn(x)+Rn(x)=Tn(x)+Rn(x)

(4)

(5)

Sn(x)=Tn(x) – многочлен Тейлора =∑		( )(	)	k
Sn(x)=Tn(x) – многочлен Тейлора =∑		!		( − )
Sn(x) – частичные суммы
( ) =	( )(с) ( )			(6)
( ) =	( )!			(6)

- остаточный член в форме Лагранжа

с- некоторая промежуточная точка

x0<c<x0+θx; 0<θ<1

(	)
x0	c
	Xo+θx

Обратная задача:

Пусть f(x)- бесконечно дифференцируемая функция. Чисто формально

составим ряд Тейлора:

∞	( )( )
( )~		( − )	(7)
	!

Символ ~ – означает, что с помощью f(x)составлен формально ряд Тейлора.

Возникают вопросы:

1)Когда можно поставить знак «=» в формуле (7) ?

Иначе –будет ли ряд (7) сходиться к своей функции f(x)?

2)Если да, то при каких условиях?

3)Сколько таких степенных рядов можно составить для бесконечно дифференцируемой функции?

Теорема25( о единственности разложения функции в ряд Тейлора

(ответ на 3 вопрос)

Представление функции рядом Тейлора – единственно.

Доказательство:

Предположим противное, т.е. что бесконечно дифференцируемую функцию

f(x) мы может представить в виде 2-х рядов:

∞

( ) = ( − )

и 2-м рядом:

∞

( ) = ) ( − )

Следовательно, = )

(по т. 24)	=	( )( )
		!

(по т. 24)		) =	( )( )
			!

=	( )( )	= 0,1 …
	!

т.е. представление бесконечно дифференцируемой функции степенным

рядом единственно и этот степенной ряд есть ряд Тейлора.

(8)

(9)

(2)

Ответ на 2-ой и 1-ый вопросы дает Теорема 26:

Теорема26(необходимое и достаточное условие разложимости функции

в ряд Тейлора):

Для того, чтобы бесконечно дифференцируемая функция могла быть представлена своим рядом Тейлора необходимо и достаточно, чтобы предел остаточного члена в формуле Тейлора при n ∞ равнялся 0, т.е

( ) = ∑∞	( )		н.и д.
( ) = ∑∞	!( ) ( − )		345
lim ( ) = 0				(10)
→∞
Доказательство необходимого условия:
Доказать (10). Из (2) вытекает равенство (5) Rn(x)=f(x)-Tn(x)
lim ( ) = lim		( ) − lim : ( ) =		( ) − lim ; ( ) = ( ) − ( ) = 0
→∞	→∞	→∞		→∞

Доказательство достаточного условия из выполнения равенства (10): Нужно доказать, что lim→∞ ; ( ) = ( );

из того, что функция бесконечно дифференцируемая, её

можно представить формулой

	Тейлора : f(x)=Tn(x)+Rn(x)	0 (по (10))
	Tn(x)=f(x)-Rn(x)	0 (по (10))
	Tn(x)=f(x)-Rn(x)
	lim→∞ : ( ) = ( ) − lim→∞ ( ) = ( ) ч.т.д.
	Замечание 2

Если предел Rn(x)=0, то можем ставить = вместо ~ в формуле (7) Если Rn(x) 0 при n ∞ (lim→ ( ) = 0), то

( ) = ∑∞	( )
	!( ) ( − ) - представима своим рядом Тейлора, который
сходится к ней.
Способы разложения функции в ряд Тейлора

I) Универсальный (функция задана, бесконечно дифференцируемая) Составляем формально ряд Тейлора

f(x) ~ ∑∞	( )
	!( ) ( − )

Составляем Rn(x) по формуле Лагранжа и оцениваем, стремится ли он к 0

(|R (x) |<=> 0)

n →∞

Если да, то по Т26 в записи (7) можно поставить «=» 2) Использование основных Тейлоровских разложений

Используются основные Тейлоровские разложения в окрестности Xo=0 с помощью подстановки t=X-Xo

по теореме единственности полученный степенной ряд – есть ряд Тейлора нашей функции.

3)Использование дифференцирования и интегрирования степенных рядов

4)Использование других способов

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 115 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.03.201621.79 Кб16К экзамену по ИЭУ (3-4).docx
#
16.03.201620.52 Кб13К экзамену по ИЭУ (4-5) .docx
#
14.09.20192.22 Mб9К_р_фазометр.doc
#
24.09.20191.54 Mб9Калабушев - УП, 52 стр.doc
#
10.05.2015712.32 Кб30киб_3_семестр_дифгем_лекции.pdf
#
10.05.20154.03 Mб17киб_3_семестр_матан_лекции.pdf
#
10.05.2015986.62 Кб125киб_3_семестр_физика_экзамен_ответы.doc
#
10.05.2015395.18 Кб41киб_3_семестр_экономика_лекции.pdf
#
10.05.201537.63 Кб30Классификация типов памяти (Реферат).docx
#
19.11.20191.02 Mб10Книга (конечный вариант).doc
#
23.04.2019317.44 Кб2Ковалев. Управление оборотным капиталом.doc