киб_3_семестр_матан_лекции
.pdf
y
чет
-2 |
-1 |
1 |
|
нечет
Продолжим f(x) нечетно на (-2;0)
an=0
= 2 |
\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
# $ sin % = 2 |
]# sin % + # 2 − sin % ^ = |
||||||||||
. |
, |
|
. |
|
2 |
|
, |
. |
|
|
. |
|
|
|
8 |
|
|
|
|
0, |
= 2U |
|
|
|
= |
= _ |
−1 H8 |
, = 2U − 1 |
|
||||||
|
sin 2 |
|
|
|
|||||||
0 = $ |
на |
,; = |
|
−1 H 8 |
|
2 − 1 |
|
||||
|
- |
2 − |
1 sin |
2 |
|
||||||
Сходимость поточечная и равномерная(т.к. S(x) – функция непрерывная на всей числовой оси)
Продолжим f(x) четно на (-2;0)
bn=0 |
|
|
|
|
|
|
|
, = 2 |
|
+ 1 |
= 1; |
, = 1 |
|||
∙ ]# % + # 2 − % ^ = 1 |
|||||||
2 |
, |
|
2 |
2 |
|
2 |
2 |
−4 |
1 |
|
|
|
|
проверьте |
||
= |
∙ 2 − 1 |
|
|
|||||
a |
|
1 |
− |
4 |
cos 2 − 1 |
|||
|
|
|
- |
|
|
|||
0 = $ = |
2 |
|
2 − 1 |
|||||
Замечание 5. |
|
|
|
|
|
|||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 = 0 = $ |
|
|
|
|
|
|
|
|
на (0;2)
поточечная сходимость имеет место На всей числовой оси ряд Фурье сходится равномерно, т.к. сама функция и её продолжения непрерывны.
Задание на дом.
По учебному пособию “ Высшая математика” под редакцией С.А. Розановой издательство Физматлит, глава 2, стр.57,58, изучить самостоятельно раздел
“ Приближение функции частичными суммами ряда Фурье”.
Лекция 15.
Ряд Фурье в комплексной форме. Дискретный спектр. Интеграл Фурье. Непрерывный спектр (спектральная плотность).
Рассмотрим ряд Фурье на[-π;π].
Если функция периодическая и удовлетворяет условиям Дирихле
|
|
a0 |
|
+ |
∞ |
|
|
cos nx + b sin nx) , где |
||||
f(x)= |
|
∑ |
(a |
n |
||||||||
|
|
|||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
n = 1 |
|
n |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
|
π |
|
|
|
|
|||
an |
= |
|
|
|
|
−∫π |
f (x) cos nx × dx |
|||||
|
π |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
|
π |
|
|
|
|
|||
b |
= |
|
π |
|
∫ |
f (x) sin nx × dx |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−π
(1)
(2)
f(x), x-точка непрерывности, -π< x < π
S (x) = |
f (x + 0) + f (x − 0) |
, x- точка разрыва 1-го рода, хЄ (-π; π) |
(3) |
|
|
2
f (−π + 0) + f (π − 0) , х= ± π 2
Формула Эйлера: z=x+iy
e z = e x (cos y + i sin y) = e x × eiy
z=inx |
|
± |
einx = cos nx + i sin nx |
||||||
z=-inx |
|
e |
−inx |
= cos nx − i sin nx |
|||||
|
|
|
|||||||
(y=-nx) |
|
|
|
|
|
ф-я четная |
ф-я нечет. |
||
Выражаем cosnx , |
sin nx |
|
|
|
|||||
cos nx = |
1 |
(einx + e−inx ) ; |
sin nx = |
1 |
(einx − e−inx ) ; |
||||
2 |
|||||||||
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
2i |
|||
sin nx = i 1 (e−inx - einx ); 2
(4)
(5)
(6)
=
+ |
sin = 2 |
|
|
+ |
|
|
+ 2 |
|
|
− |
|
= |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
− = |
2 |
+ |
+ |
|
|
2 |
|
|
|
= |
|
+ |
|
, где |
|||||||||||
|
|
− |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2 |
; = |
|
|
2 |
|
|
|
; |
= 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Тогда |
% |
|
|
|
|
|
!" # = |
|
|
, где |
|
"10# |
|
$ |
|
|||||
& % |
|
|
|
|
||
1 . |
!" # |
|
+ , |
= 0, ±1, ±2 … |
"11# |
|
= 2) |
*. |
|
||||
Действительно из формулы (9) с использованием (1) и (2) получаем, что |
||||||
1 . |
!" #/cos − sin 2+ = |
|
||||
= 2) |
.* |
|
||||
Воспользуемся. формулой Эйлера(n>0)
= 1 * !" # + "12# 2) .
При n<0 аналогично |
1 . |
|
|
|
||
= |
1 . |
|
!" # |
|
+ "13# |
|
2) .* |
!" #/cos"− # + sin"− #2+ = 2) .* |
|
||||
Определение7 (дискретного спектра) :
|Cn| из формулы (11) называется дискретным спектром. Замечание1: Если известен дискретный спектр, то по нему можно
восстановить саму функцию f(x)(т.е сигнал) и наоборот, с помощью формул (10) и(11) найти дискретный спектр. Эти преобразования лежат в основе
спектрального анализа.
Замечание2: Если функция f(x) периодическая с периодом 2 L и
удовлетворяет условиям Дирихле на этом отрезке, то ряд Фурье в комплексной форме записывается в виде:
[-L ; L]; T=2 L
|
a0 |
∞ |
|
nπx |
|
nπx |
|
|
f (x) = |
+ ∑an |
cos |
+ bn sin |
(14) |
||||
|
l |
l |
||||||
2 |
n=1 |
|
|
|
||||
a |
= |
1 |
l |
f (x) cos |
nπx |
|
dx |
|
b = |
1 |
l |
f (x) sin |
nπx |
dx |
|
|||||
l −∫l |
|
|
; |
l |
|
(15) |
||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
n |
−∫l |
|
l |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
inπx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
f (x) = ∑Cne |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(16) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
l |
|
−inπx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Cn |
|
f (x)e |
|
l |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
(17) |
|||||||
2l −l∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Интеграл Фурье
Используя ряды Фурье и по аналогии с ними введем интеграл Фурье
Пусть f(x) абсолютно интегрируемая и непериодическая функция на (-∞; ∞), т.е.
∞
*|!" #|+ = 5 < +∞ "18#
∞
Можно формально из равенств (14) и (15) (дискретный случай) при l →∞
перейти к интегралу Фурье(непрерывный случай) |
"19# |
||||||||||
|
: |
|
|
|
|
9 |
= : |
, |
где |
||
Идея обозначим |
|
) |
|
|
|||||||
< − дискретная частота − |
ой гармоники. |
|
|||||||||
Тогда формулы (14), (15) приобретают следующий вид: |
|
||||||||||
|
|
|
a0 |
∞ |
|
|
|
|
|
||
f (x) = |
+ ∑ an cos(ωn x) + bn sin(ωn x) |
(20) |
|||||||||
|
|||||||||||
|
1 |
2 |
|
n=1 |
|
|
|
|
|
||
= |
? |
!"># cos"9 >#+> , = 0,1,2 … |
|
||||||||
: |
?* |
(21) |
|||||||||
= |
1 |
? |
!"># sin" 9 >#+> , = 1,2 … |
|
|||||||
: ?* |
|
||||||||||
В формулах (21) вместо переменной интегрирования x взяли t для удобства
преобразований. Подставляем (21) в (20). Тогда |
|
|||||||
!"># |
= |
1 |
? |
|
1 |
∞ |
? |
|
* !">#+> + |
$ |
* !">#/cos 9 > ∙ cos 9 + sin 9 > ∙ sin 9 2+> = |
||||||
= 1 |
? |
2: |
? |
|
: |
&A ? |
|
|
|
|
∞ |
*? !"># ∙ cos 9 "> − #+> |
"22# |
||||
* !">#+> + 1 |
$ |
|||||||
2: |
? |
|
: |
&A |
? |
|
|
|
1) оценим первый интеграл
I = |
1 |
|
|
l |
f (t)dt |
£ |
1 |
l |
|
f (t) |
|
dt £ |
M |
¾¾¾® 0 |
|
|||||
|
|
−∫l |
−∫l |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
2l |
|
|
2l |
|
|
|
|
|
2l |
l→∞ |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2# обозначим ∆9 = 9 CA − 9 = ) |
|
"23# |
||||||||||||||||||
Сумму от интеграла представим как: |
интегральную сумму функции: |
|||||||||||||||||||
|
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
"24# |
* !"># cos 9 "> − #+> = D?"9 # |
|
|
|
|||||||||||||||||
? ∞ |
* !"># cos"> − #9 +> = |
|
|
|
∞ |
|
J |
|||||||||||||
1 |
$ |
1 |
$ D?"9 #∆9 → G: HI + |
|||||||||||||||||
|
|
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при |
∞ |
|||||
: &A ? |
|
∞ |
|
|
|
|
|
) &A |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
→ ) * D?"9#+9 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3) формальный предельный переход в равенстве (22) при l→+∞ приводит к |
||
равенству |
C% |
|
C% |
"25# |
|
!" # = 1 * +9 * !"># cos 9"> − #+> = !" # |
||
) |
% |
|
Определение8(формулы Фурье, двойной интеграл Фурье). Равенство (25) |
||
называется формулой Фурье, а двойной интеграл, стоящий в правой части (25) , носит название двойного интеграла Фурье(Теормема 3).
Замечание3: мы фактически, хотя чисто формально, доказали теорему Фурье.
Интеграл Фурье: Двойной интеграл Фурье, Тригонометрическая форма интеграла Фурье, Интеграл Фурье в комплексной форме. Пара преобразования Фурье.
Теорема 3:
Если выполняются следующие условия: 1)функция f(x) непериодическая
2)функция удовлетворяет условиям Дирихле на каждом конечном отрезке [-l ; l]
3)является абсолютно интегрируемой на (-∞;∞)
(т.е выполняется равенство (18)), то имеет место следующее равенство |
||||
!" + 0# + !" − 0# |
= 1 |
C% |
C% |
"26# |
* +9 * !"># cos 9"> − #+> |
||||
2 |
) |
|
% |
|
Замечание 1:
Если х- точка непрерывности, то f(x), а если х- точка разрыва 1-го рода, то получим среднее арифметическое.
Тригонометрическая форма интеграла Фурье.
Для того, чтобы получить тригонометрическую форму, воспользуемся известной тригонометрической формулой(развернём внутренний интеграл в
!(26))" + 0# + !" − 0# =
C% 2 1 C% C% 1 C%
= * cos < +< ∙ ) *% !"># cos 9>+> + * sin 9 +< ∙ ) *% !"># sin 9>+> =
Введя обозначения:
Y"9# |
|
1 C% |
!"># cos 9>+> |
, Z"9# |
1 C% |
!"># sin 9>+> |
"27# |
|
= ) *% |
= ) *% |
|||||||
Получим: |
|
|
|
|
|
|||
|
|
!" + 0# + !" − 0# |
C% |
|
|
|
||
!" # |
= |
= * /Y"9# cos 9 + Z"9# sin 9 2+9 |
"28# |
|||||
|
2 |
|||||||
−тригонометрическая форма интеграла Фурье"определение 13#
Замечание 2. равенства(27) и (28) устанавливают сходство между интегралом Фурье в тригонометрической форме и тригонометрическим рядом Фурье.
Определение 9. интеграл(28) с коэффициентами, вычисленными по формуле(27), носит название тригонометрического интеграла Фурье.
ЗамечаниеC%3. для четной функции формулы (27) и (28) принимают вид:
Y"9# = )2 * !"># cos 9>+>
B(ω)=0 |
C% |
|
|
!" + 0# + !" − 0# |
|
||
= * Y"9# cos 9 + |
"29# |
||
2 |
Для нечетной : A(ω)=0,
C% |
|
|
!" + 0# + !" − 0# |
|
|
* /Z"9# sin 9 2+< = |
, где |
||||
2 |
|||||
Z"9# |
2 C% |
!"># sin 9>+> |
"30# |
||
= ) * |
|||||
Замечание 4. Если функция задана на (0;+∞) , то её можно доопределить четно или нечетно и воспользоваться формулами (29) или (30) соответственно.
Можно показать(сделав преобразования подобные тем, что использовались при выводе ряда Фурье в комплексной форме), что интеграл Фурье в
комплексной форме имеет вид: |
C% |
|
|
|||
!" + 0# + !" − 0# |
= |
1 |
C% |
!"># c"d #+> |
"31# |
|
* +9 * |
||||||
2 |
|
2) |
% |
% |
|
|
Интеграл Фурье в комплексной форме. Пара-преобразования Фурье:
прямое и обратное, cos и sin преобразование
Определение 10(интеграл Фурье в комплексной форме): |
||||||||
!" − 0# + !" + 0# |
1 |
|
C% |
C% |
f"d # |
|
||
∙ * +ω |
* !"># ∙ |
+> |
||||||
|
2 |
= 2) |
|
|||||
Замечание 1: |
C% |
% |
% |
|
|
|||
"1# = 1 |
C% |
!"># ∙ fd +> |
|
|
||||
∙ * f +ω * |
|
|
|
|||||
2) |
% |
% |
|
|
|
|
|
|
Формулу (2) разобьем на два равенства, которые называются парой |
|||||
преобразования Фурье от функции f. |
|
||||
Определение 11(пара-преобразования Фурье): |
|
||||
g"!# = h" ω# = |
1 |
C% |
!"># ∙ fd +> |
"3# |
|
∙ * |
|||||
|
|
√2) |
% |
|
|
− прямое преобразование Фурье |
|
||||
g A"!# = |
|
C% |
|
∙ f +ω = !" # |
"4# |
1 ∙ * h" ω# |
|||||
|
√2) |
|
|
|
|
−обратное преобразование% Фурье
"1#
"2#
Прямое и обратное преобразования Фурье носят название парыпреобразования Фурье. A
Замечание2: Довольно часто l. не расщепляют, а отдают прямому преобразованию Фурье или обратному, последнему даже чаще, т.е.
h" ω# = |
C% |
|
!"># ∙ fd +> |
|
|
|
|
|
|
"3m# |
|
|||||||
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
!" # = |
% |
|
|
C% |
h" ω# ∙ f +ω |
|
|
|
|
|
|
"4m# |
|
|||||
1 |
∙ * |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
2) |
|
% |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Определение12. S(i ) – спектр(сплошной, непрерывный) или спектральная |
|
|||||||||||||||||
плотность. |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Примечание: функция комплексного переменного(как и комплексного |
|
|||||||||||||||||
числа) характеризуется модулем и аргументом. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|S(i |
)|- амплитудный спектр; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ArgnS(i ) = |
|
|
( |
) – фазовый спектр. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
В комплекснойn φ nформе ряда Фурье (когда периодическая функция) получаем |
|
|||||||||||||||||
дискретный спектр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Определение 13(косинус- и синуспреобразования Фурье): |
|
|||||||||||||||||
Косинус-преобразование имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
p |
q |
2 |
C% |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
) ∙ * !"># ∙ cos"ω>#+> |
|
|
|
"6# |
|
|
||||||||||||
g = |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Синус-преобразование: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
r |
q |
2 |
C% |
!"># ∙ sin"ω>#+> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
) |
∙ * |
|
|
|
|
|
"7# |
|
|
|||||||||
g = |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Замечание3: Косинус- и синуспреобразования Фурье связаны |
|
|||||||||||||||||
соответственно с четными и нечетными функциями. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Если f(x) – |
четная, то для неё преобразование Фурье F(f)=Fc (ω). |
|
||||||||||||||||
Если f(x) – |
нечетная, то для неё преобразование Фурье F(f)=Fs (i). |
|
||||||||||||||||
Проверить! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
!" # = s 1, |
|
| | |
< A |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
Пример1: |
найти спектральную плотность, если |
f(x) |
|
|||||||||||||||
S(iw)=? 0, |
|
|
| | > A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
По формуле (3): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
- |
|
|
|
|
X1 |
|
|
x |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
∙ fd u A |
= "по ф − ле Эйлера# = |
||
h" <# = * fd +> = 1 |
||||||
A |
|
|
− ω |
# |
A |
|
|
= 2 |
∙ 1 |
sin"ω A |
|
|
|
|
ω A |
|
|
|
||
|h" <#| = 2 ∙ 1 |
| sin"ω A# | |
|
|
|
||
ω A |
|
|
|
|||
1 |
1 |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
Этот же результат можно получить через Fc .
Примечание: по спектру можно вычислить сигнал и наоборот.