киб_3_семестр_матан_лекции

Тригонометрическая система (1) ортогональна на отрезке [- ; ], если интеграл от произведения двух различных функций этой системы по отрезку [- ; ] равен нулю.

Свойство ортогональности системы (1) на[- ; ]. Тригонометрическая система функций (1) ортогональна на [- ; ].

Для доказательства этого свойства выпишем пять интегралов и покажем,

что они все равны 0.

1) = 1 ∙ cos = 0

2) = 1 sin = 0

3) = cos cos ! = 0 , ! ≠ (3)

4) % = sin sin ! = 0 , ! ≠

5) ' = cos sin ! = 0 , !,

Задание на дом. Остальные интегралы вычислить самостоятельно.

Замечание3. Для дальнейшего нам понадобятся еще три интеграла от квадратов функций(запомнить их):

Определение 4 (тригонометрического ряда функции на [- ; ]).

Тригонометрическим рядом функции f(x) на отрезке [- ; ] называется

Определение 5(тригонометрического ряда функции на [-l ; l]).

Тригонометрическим рядом по системе функций (2), ортогональной на

Ответ на этот вопрос дает теорема 1.

Теорема 1(Необходимое условие разложения функции в

тригонометрический ряд (4) ).

Доказательство этой теоремы проведем в предположении, что

Следовательно

1 ( ) <= = ;

Аналогично, умножением неравенства на sin nx, мы получаем ?

Ч.Т.Д.

Определение 6(тригонометрического ряда Фурье, коэффициентов Фурье).

Тригонометрический ряд с коэффициентами, вычисляемым по формулам

С коэффициентами, вычисляемыми по формулам (9) , называется тригонометрическим рядом Фурье на отрезке [-l ; l].

Лекция 14

Теорема Дирихле, поточечная сходимость ряда Фурье

Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций.

Разложение в ряд Фурье функций, заданных на

полупериоде.

Вопрос. При каких условиях можно поставить знак «=» между левой и правой частью равенств (1) и (3) ?

Теорема 2( Дирихле, о поточечной сходимости ряда Фурье)

(без доказательства)

Если периодическая функция f(x) с периодом Т=2 удовлетворяет на

[- ; ] следующим условиям(условиям Дирихле):

а вне отрезка [- ; ] этот ряд сходится к периодическому продолжению S(x)

на всю числовую ось

Замечание 1. В формуле (6) сумма F G ), HF G H, - является средним

арифметическим односторонних пределов (левого и правого) в точке разрыва первого рода, а F )(H, HF (), – является средним арифметическим значений функций (односторонних пределов значений функций на концах отрезка

[- ; ])

Замечание 2. Ряд Фурье на отрезках [- ; ], (- ; ), (- ; ], [- ; ) будет один и тот же, т.к. он определяется коэффициентами и , а это есть интегралы по отрезку [- ; ], а интеграл будет иметь одно и тоже значение. Ряд Фурье

«не почувствует», если функция будет изменена в конечном числе точек

Замечание 3. Теорема Дирихле, конечно, имеет место для функции f(x),

заданной на

[-.; .]

Уметь формулировать теорему Дирихле для этого случая.

Примеры функций, не удовлетворяющих теореме Дирихле

$ = )G в точке x=1 функция терпит разрыв второго рода;

$ = sin 1 − при → 0 имеет бесчисленное множество экстреммумов

Задание на дом: построить графики этих функций

Пример функции, которая может быть разложена в ряд Фурье на интервале

(- ; )

$ = O0, − < ≤ 0, 0 < <

y, f(x), S(x)

f(x) - непрерывна на заданном интервале; удовлетворяет условиям Дирихле Вычислим коэффициенты Фурье.

вид ряда:

$ , ≠ ± 2 0 = T 2 , = ± 2

Графики функций f(x) и S(x) изображены выше. Ряд поточечно сходится к

S(x) на всей числовой оси; равномерной сходимости на всей числовой оси нет, т.к. S(x) разрывна.

Замечание 4(вид сходимости рядов Фурье). Ряд Фурье с точки зрения функциональных рядов имеет следующие виды сходимости:

1)Поточечную и

2)Равномерную

С точки зрения функционального анализа

3) Сходимость в среднем или в средне квадратичном Можно ли утверждать, что полученный ряд Фурье сходится равномерно?

Если сумма является разрывной функцией, то ряд сходится неравномерно

(это было отмечено в предыдущем примере).

Задание на дом: повторить все формулы и способы интегрирования, свойства сходимости рядов.

Ряд Фурье и коэффициенты Фурье для четных и нечетных функций

Если функция f(x) – четная [-π;π] , т.е. f(-x)=f(x), тогда формулы (1) и (2)